§ 83. Die Kreisschnitte einer Fläche zweiter Ordnung. 
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ist, und die Winkel, welche zwei solche Ebenen mit einander 
bilden, werden durch Ebenen halbiert, die zu Hauptebenen der 
Fläche parallel sind. 
5. Wir haben aber noch zu untersuchen, ob die Ebenen der 
Kreisschnitte oder, was auf dasselbe hinauskommt, ihre unendlich 
fernen Linien reell sind. Nun wird offenbar ein reelles Geraden 
paar der unendlichfernen Ebene nur dann durch die Gleichung 
Ax 2 -f-By 2 = 0 dargestellt, wenn A und B verschiedenes Vor 
zeichen haben. Hiernach kann auch nur eines der drei Geraden 
paare (4) reell sein. Ist nämlich etwa a <f ß <f /, so sind ß — a 
und y—a positiv, a — y und ß — y negativ; dagegen ist a — ß 
negativ und y—ß positiv. Eine Fläche zweiter Ordnung hat 
somit höchstens zwei reelle Scharen von Kreisschnitten. 
6. Um unsere Untersuchung zum Abschlufs zu bringen, haben 
wir noch den Fall zu untersuchen, dafs unter den Geraden, welche 
einem der Paare (4) angehören, sich eine befindet, die ganz in 
der Fläche liegt. Soll dieser Fall eintreten, so mufs einer der 
Koefficienten a, ß, y verschwinden. Umgekehrt, wenn diese 
Bedingung erfüllt ist, so hat die Fläche zwei unendlichferne Gerade; 
demnach liefern alsdann nicht mehr sechs, sondern nur vier ver 
schiedene Stellungen Ebenen, von denen die Fläche in einem 
Kreise geschnitten wird. Sollen gerade die reellen Kreisschnitte 
ausfallen, so mufs die Fläche auch mit der unendlichfernen Geraden 
reelle Gerade gemeinschaftlich haben. Alsdann liegt der ver 
schwindende Koefficient der Gleichung (2) zwischen den beiden 
andern; von den letzteren hat der eine das positive, der andere 
das negative Vorzeichen. 
Alle eigentlichen Flächen zweiter Ordnung mit 
Ausnahme des hyperbolischen Paraboloids haben zwei 
Scharen von reellen Kreisschnitten; auch auf dem Kegel 
zweiter Ordnung und dem elliptischen Cylinder liegen 
zwei Scharen von reellen Kreisen. Dagegen enthält 
weder das hyperbolische Paraboloid noch der hyper 
bolische oder parabolische Cylinder reelle Kreise. 
7. Wir wollen die reellen Kreisschnitte der einzelnen Flächen 
angeben, beschränken uns aber dabei auf reelle Flächen. Wenn 
die Gleichung des Ellipsoids in der Form vorausgesetzt wird: