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n. 
Kugelflache 
wir, wenn 
^elfläche be 
find, nach 
finden wir, werrn x', y', / bie gesuchten Coordinaten und r den gesuchten §. 
Radius bedeuten, 
z' — — du ; y' == — b ; x' = — c ; r = ]/a 2 -f-b 2 -h c 2 —d . 
Hierbei bemerken wir, daß die Kugelflache imaginair ist, wenn der unter 
dem Wurzelzeichen befindliche Ausdruck einen negativen Werth hat, daß fie 
in einen Punkt degeuerirt, und zwar in den Mittelpunkt, dessen Coordinaten 
wir so eben gefunden haben, wenn der genannte Ausdruck gleich Null ist. 
Aufgabe [55]. Die Summe der (Quadrate der Entfernungen eines 
Punktes p von n gegebenen punkten ist gegeben. Es soll der Ort des 
Punktes p gefunden werden. 
= r 2 
Wir wollen nur drei gegebene Punkte annehmen, weil die Rechnung 
für eine größere Anzahl im Wesentlichen keine andere ist, und es seyen 
(1) 
x', y', z/ ; x", y", z" ; x w , y'", z!" die bekannten Coordinaten dieser 
Punkte; es sei ferner q 2 die Summe der Quadrate der drei Entfernungen 
immer nur 
dieser Punkte von dem Punkte p, dessen Coordinaten durch x, y, z be 
zeichnet werden. Alsdann haben wir (§. 2., F. 4) 
der Coordi- 
(z— z') 2 + (y — y') 2 -h(x — x') 2 j 
+ (z — z // ) 2 +(y — y // ) 2 +(x— x") 2 } — q 2 , 
(2) 
aten, so ist, 
+ (z —z w ) 2 + (y—y w ) 2 + (x —x'") 2 ] 
oder, wenn wir entwickeln, 
z 2 +y 2 -f-x 2 2. Z+Z 3 +Z -z 2.? + *,+* .y 2 x 
(3) 
iden, wenn 
ücksichtigen. 
er x' — 0, 
-+- g | z' 2 + y' 2 +x' 2 z //2 + y"' 2 -h x" 2 + z"' 2 -f- y'" 2 Hh x" ,a — q 2 1 =0 
als Gleichung des gesuchten Ortes, welcher folglich eine Kugelfläche ist. 
§. 37. 
0 , 
tiven Seite 
Wir setzen hier als bekannt voraus, daß eine Kugelfläche von einer 
Ebene in keiner anderen Curve als in einem Kreise geschnitten werden kann, 
und daß eine Ebene, welche in dem Endpunkte eines Radius senkrecht auf 
ihm steht, mit der Kugelfläche nur diesen einen Punkt gemein hat, und die 
Tangentialebene der Kugelfläche in diesem Punkte ist. 
)es Mittel- 
Aufgabe [56]. Die Gleichung einer Lugelflache und die Loordir 
naten eines auf derselben befindlichen Punktes find gegeben. Es soll 
die Gleichung der Tangentialebene der Flache in diesem Punkte gefun- 
ng so 
den werden.