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§. 37. Es sey 
(2 - rY + (y - ßf + (x - «) 2 = r 2 (i) 
die gegebene Gleichung der Kugelfläche, und es seyen x', y', z' die gege 
benen Coordinaten eines Punktes auf derselben. 
Die Gleichungen der Geraden, welche den Mittelpunkt mit dem gege 
benen Punkt xyV verbindet, sind, wenn wir ihre laufenden Coordinaten 
durch t, u, v bezeichnen (§.6. G. 1), 
( z '— y)(u—ß) = (y 7 —/?)0—7) ; (z'—7)(t—«0 = (x'—«)(▼—7) , 
und die Gleichung der Ebene, welche auf dieser Geraden im Punkte x'yV 
senkrecht steht, ist daher (§.9. G. 13) 
(/— 7)(v — z') H- (y'— /S)(u — yO -h (x'— tt)(t — x!) = 0 . (2) 
Da aber der Punkt x'yV ein Punkt der Kugelfiäche ist, so haben wir, in 
Folge der gegebenen Gleichung (1), auch 
(z'- 7) 2 + (/- ßf+ (^- «) 2 = r 2 ; (3) 
und wenn wir nun die Gleichungen (2) und (3) addiren, so erhalten wir 
( z '— 7)0 — 7) + (y 7 — ßX u —ß)-i- (x 7 — «)(t — a) = r 2 (4) 
als Gleichung der gesuchten Tangentialebene, in welcher die Coordinaten des 
Berührungspunktes x'y'z' nur in erster Potenz vorkommen. 
Ist der Mittelpunkt der Kugel der Anfangspunkt der Coordinaten, dem 
gemäß a = ß — 7 = 0, und 
z 2 -f- y 2 -f- x 2 = r 2 (5) 
die Gleichung der Kugelfläche, so ist 
z'v + y'u -+- x't — r 2 (6) 
die Gleichung der Tangentialebene im Punkte x'yV dieser Fläche. 
Die Lösung dieser Aufgabe giebt zu mehreren Betrachtungen Veran 
lassung. Da die Gleichung (6) mit der Gleichung (2) des §.26 identisch 
ist, wenn wir in der letzteren für x, y, z respective x', y', z' setzen, so folgt, 
daß die Tangentialebene in irgend einem Punkte x'y'z' der Kugelfläche als 
die Polarebene dieses Punktes, und daß umgekehrt dieser Punkt als der 
Pol der Tangentialebene angesehen werden kann. Daher ist denn ferner die 
Ebene, welche drei beliebige Punkte der Kugelfiäche enthält, die Polarebene 
des Durchschnittspunktes der Tangentialebenen dieser Punkte, und in diesem 
selbigen Durchschnittspunkte schneiden sich die Tangentialebenen aller Punkte 
der Kugelfläche, welche in jener Ebene liegen, d. i. aller Punkte des Kreises,