§ 14. sammeilgenommen oder Q ist daher gleich ' (zi-j-z 2 -+- z 3 )q. Setzen wir 
für q seinen Ausdruck (T. §. 10. G. 2), so ergiebt sich 
Q = i(z 1 -+-z 2 + z 3 )j(x 2 y 1 -f-X3y 2 +x 1 y 3 ) —(y 2 x l -j-y 3 x 2 4-:y 1 x 3 )| . (I) 
Wenn die Coordinaten schiefwinklig sind, so ist der in Rede stehende 
Rauminhalt noch immer durch die Formel (1) ausgedrückt, wenn wir nicht 
den auf der Längeneinheit construirten Cubus, sondern statt dessen ein Pa- 
rallelepiped zur Raumeinheit nehmen, dessen Kanten der Längeneinheit gleich 
sind, und in welchem eine Ecke mit der von den Coordinatenebenen gebil 
deten Ecke coincidirt. Jener Cubus verhalt sich zu diesem Parallelcpiped 
offenbar wie 1 : sinisinZ'', wenn wir, wie in §. 10, durch z den Winkel, 
welchen die Achsen der x und der y mit einander machen, durch TI aber 
den Winkel, unter welchem die Achse der z gegen die Ebene der xy geneigt 
ist, bezeichnen. Wollen wir also den Cubus auf der Längeneinheit auch für 
schiefwinklige Coordinaten zur Raumeinheit nehmen, so müssen wir der, Aus 
druck (1) noch mit sinisinZ', also zufolge (§.10. G. 11 u. 12) noch mit 
Q — Y 11 — cos 2 k — cos 2 y — cos 2 i 2 cos X cos y cos z j 
multipliciern. 
Aufgabe [34 j. Den Rauminhalt eines Tetraeders durch die recht 
winkligen Eoordinaten seiner Eckpunkte auszudrücken. 
Wir wollen vorläufig annehmen, die Coordinatenebenen seyen so ange 
nommen, daß das Tetraeder gänzlich in derjenigen körperlichen Ecke liegt, 
welche die positiven Seiten der Coordinatenachsen bilden; ferner daß, wenn 
Pu Pa/ Pa, p» die Eckpunkte des Tetraeders bezeichnen, die Projection eines 
Eckpunktes pi auf der Ebene der xy innerhalb der Projection des Dreiecks 
PaPaPu und der Punkt p, selbst zwischen der Ebene dieses Dreiecks p 2 p 3 p 4 
und der Ebene der xy liegt. Projiciren wir nun alle Kanten des Tetra 
eders auf die Ebene der xy, so erhalten wir vier prismatische Körper von 
der in der vorigen Aufgabe genannten Art; und der gesuchte Rauminhalt 
ist offenbar dem Reste gleich, den man erhält, wenn man von dem Inhalte 
des Körpers auf der Projection des Dreiecks p 2 p 3 p 4 die Summe der drei 
übrigen Körper abzieht. Bezeichnen wir die Coordinaten von p r , p 2 , rc. 
durch x w y w Zi ; x 2 , y 2 , z 2 , rc., ferner den Flächeninhalt der Projet- 
tionen der Dreiecke p 2 p a p 4 , P1P3P4 rc. durch q,, q 2 rc., so ist der Raum 
inhalt des Tetraeders, zufolge der vorigen Aufgabe, gleich