70 
. 14. 
Wenn ein Eckpunkt des Tetraeders z. B. p 4 im Anfangspunkte der Coor- 
binaten liegt, so ergiebt sich aus (2), da alsdann x^ — y 4 = z 4 = 0 ist, 
I jx,y 2 z 3 -f- x 2 y 3 z t -f- x 3 y l z a — x,y 3 z 2 — x 2 y t z 3 — x 3 y 2 Zx j (3) 
für den Inhalt des Tetraeders. Man kann bemerken, daß der zwischen den 
Parenthesen enthaltene Theil dieses Ausdruckes der Nenner der in H. 6. für 
A, B, u. C gefundenen Ausdrücke ist. 
Da sich jedes Polyeder als eine Summe oder Differenz solcher pris- 
malischen Körper als wir in der Aufgabe (31) betrachtet haben, ansehen 
läßt, so ist man im Stande den Rauminhalt eines jeden Polyeders durch 
die Coordinaten seiner Eckpunkte auszudrücken. 
Aufgabe [35J. Der Flächeninhalt S eines ebenen Polygons tm 
Raume ist gegeben. Es soll der Flächeninhalt einer orthogonalen Pro- 
jection desselben gefunden werden. 
Es sey die Ebene der xy die Projektionsebene und der Neigungs 
winkel der Ebene des Polygons gegen diese Projectionsebcne. Fallen wir 
von zwei Eckpunkten p t , p 2 des Polygons die Senkrechten p,<ji, p 2 q 2 auf 
die Durchschnittslinie der beiden Ebenen, und legen durch die Geraden 
P1P2, PiCji und p 2 q 2 die projicirenden Ebenen, welche durch die Projectio- 
neu p' 4 , p' 2 der Punkte p x , p 2 gehen, so haben wir in der projicirten Ebene 
ein Paralleltrapez p 4 q 4 q 2 p2, dessen Projection p^q.q 2 p^ 2 ebenfalls ein Pa 
ralleltrapez ist, und die parallelen Seiten dieser Trapeze stehen auf ihrer ge 
meinschaftlichen Grundlinie q,q 2 senkrecht. Nun ist der Inhalt von piqiq 2 p 2 
= \ qi q 2 (piqi -H p 2 q 2 ) und der Inhalt von p^q 4 q 2 p 2 = \ q^ÜCpVji H-pVqO/ 
und da p^qx und p' 2 q 2 die Projectionen respective von Pxqx und p 2 q 2 sind, 
so ist offenbar pVp — p^-coiw, und p' 2 q 2 — p 2 q 2 . cosw z ; folglich ist 
der Inhalt von p^qxq 2 p 2 = Iq^ipiqi -+- p 2 q 2 )co.yw z , und demzufolge 
p'iqiqiP'2 — PiqiqaPa • cosco l . Verfahren wir mit allen Eckpunkten des 
Polygons wie mit den Punkten p i; p 2 , so bilden wir dadurch in seiner 
Ebene eine Reihe von Paralleltrapezen, deren Summe oder Differenz dem 
Polygone gleich ist, und zugleich in der Projectionsebene eine Reihe von 
Paralleltrapezen, deren Summe oder Differenz der Projection des Polygons 
gleich ist. Da nun jedes einzelne Trapez der zweiten Reihe einem Trapez 
in der zuerst genannten, mit cosa t multiplicirt, gleich ist, so ist auch die 
Projection des Polygons dem Products dieses Polygons in cosco i gleich. 
Bezeichnen wir also die Projectionen des Polygons auf die Ebenen der xy, 
der xz 
eines re 
Au 
Raume 
drücken 
Ql 
denen ( 
Nun ist 
Wir kö 
lygons 
drücken 
langt n 
Le 
ebenen 
project 
lige El 
A'" auf 
e 
Ebene 
Polygo 
auf ein 
A -- 
Daher 
B' - 
und so! 
Da nu 
so ist 1 
w. z. e