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muffe der Coor- 
= z 4 = 0 ist, 
2 Zxj (3) 
er zwischen den 
der in §. 6. für 
— 71 — 
der xz und der yz durch 8*, S y , und S x , so ist/ unter der Voraussetzung 8- i 4 - 
eines rechtwinkligen Coordinatensysiems/ 
8r — 8 •coso) l ; S y — S’Cosm y ; S x ----- S ‘Cosoj x . (4) 
Aufgabe [36]. Der Flächeninhalt S eines ebenen Polygons im 
Raume durch die rechtwinkligen (Koordinaten seiner Eckpunkte auszur 
drücken. 
nz solcher pris- 
laben, ansehen 
Zolyeders durch 
Quadriren wir die einzelnen Theile der in der vorigen Aufgabe gefun 
denen Gleichungen (4) und addiren sie, so ergiebt sich 
(cOS^COi + C0S 7 ü)y H- COSTCO*) S 2 — 8 2 x + S 2 y -h S 2 z . 
Nun ist, zufolge §. 10. (G. 7), cos 2 m z -+- cwL 2 k)y •+• co,sV x — .1 , also ist 
Polygons im 
ogonalen Pror 
S = ]/1 S 2 X -f- S 2 y S 2 Z j . (5) 
Wir können aber den Flächeninhalt S x , S y , S z der Projectionen des Po- 
der Neigungs- 
>e. Fallen wir 
pS auf 
h die Geraden 
) die Projectio- 
lygons durch die Coordinaten ihrer Eckpunkte nach (I. §.10. G.2) aus 
drücken, und setzen wir diese Ausdrücke in (5), so erhalten wir was ver 
langt worden. 
Lehrsatz [3]. Bilder man die orthogonale projection A eines 
ebenen Polygons 8 auf irgend eine Ebene E; ferner die orthogonalen 
Projectionen A', A", A"' von S auf irgend drei zu einander recbtwinkr 
ojicirten Ebene 
«falls ein Pa- 
r auf ihrer ge- 
t von p 1 q l q 2 p. 2 
‘.p I^i +p / 2qa)/ 
uni)p 2 q 2 sind, 
0,\ folglich ist 
id demzufolge 
ickpunkten des 
durch in seiner 
Differenz dem 
ine Reihe von 
des Polygons 
einem Trapez 
s ist auch die 
i cosm z gleich. 
Ebenen der xy, 
lige Ebenen, und die orthogonalen Projectionen B', B”, B" von A', A", 
A " auf jene Ebene E, so ist A — B'h-B " + B '. 
Es sey co der Winkel, welchen die Ebene des Polygons 8 mit der 
Ebene E bildet; ferner seyen £', c", die Winkel, welche die Ebene des 
Polygons, und r/f if, r/" die Winkel, welche die Ebene E mit den drei 
auf einander senkrechten Ebenen macht, so ist, nach Aufgabe (35), 
A ----- 8 cosoj ; A' — 8 cos/' ; A" — 8 cos/" ; A'" = 8 cos/'" . 
Daher ferner 
— 8 cos/' cosr/ ; B" ---- 8 cos/" cosr/' ; B w — Scos/'" cos)/" ; 
und folglich 
B^■+■ B /; -+- B w ----- (cos/'cosr/ + cos/"cosr"-h cos/'" cosr/'")8 . 
Da NUN aber (§.10. G. 8) cos//cosi/ -+- cos!/'cos)/' + cos/'"cosr/" ---- cosco , 
so ist B'-hB^-f-B"' — 8 cos oo, und folglich 
A = B' + B^ + B"' , (6) 
w. z. e. w.