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8- iS. ten dieser Punkte nach einander in die Gleichungen (1), so erhält man fünf 
mal drei, also Io Gleichungen, welche in Beziehung auf m, n, p rc. vom 
ersten Grade und zur Bestimmung dieser Größen, im Allgemeinen, hinrei 
chend sind. Hieraus folgt, daß einem gegebenen Systeme unzählig viele 
andere Systeme collinear-verwandt feyn können; sind aber auch fünfPunkte 
des anderen Systems gegeben, welche fünf bestimmten Punkten des erstem 
entsprechen sollen, so ist dieses andere System völlig bestimmt. 
Entwickeln wir aus den Gleichungen (1) x, y und z, so erhalten wir 
Ausdrücke in t, uu. v von derselben Form, d. h. Brüche, deren Zähler und 
Nenner Functionen ersten Grades von t, u u. v, und deren Nenner einan 
der gleich sind. 
Der gemeinschaftliche Nenner der Ausdrücke (1) gleich Null gesetzt, giebt 
mz + ny + px -+-1 ----- 0 , (2) 
und diese Gleichung drückt eine Ebene aus, welche alle Punkte des Systems 
xyz enthält, die unendlich entfernten Punkten des Systems tuv entsprechen, 
weil für jeden Punkt, dessen Coordinaten x, y, z die Gleichung (2) befrie 
digen, die Coordinaten t, u, v des homologen Punktes gleich oo werden. 
Diese Ebene (2) soll die Gegenebene im Systeme xyz heißen. Auf ähn 
liche Weise giebt es im Systeme tuv eine Ebene, welche alle Punkte enthält, 
die unendlich entfernten Punkten des Systems xyz entsprechen, und diese 
Ebene wollen wir die Gegenebene im Systeme tuv nennen. 
Zweien parallelen Ebenen in dem einen der beiden collinearen Systeme 
entsprechen zwei Ebenen in dem anderen, die im Allgemeinen nicht parallel 
sind, sondern die sich in einer, auf der Gegenebene dieses zweiten Systems 
liegenden Geraden schneiden. Und zweien parallelen Geraden in dem einen 
Systeme entsprechen zwei gerade Linien in dem anderen, die im Allgemeinen 
nicht parallel sind, sondern die sich in einem, auf der Gegenebene dieses 
zweiten Systems liegenden Punkte schneiden. Allen Geraden des einen Sy 
stems, welche einer und derselben Ebene parallel sind, entsprechen gerade 
Linien in dem anderen Systeme, welche im Allgemeinen durch eine und die 
selbe, auf der Gegenebene dieses zweiten Systems liegende Gerade gehen. 
Ein drittes System, dessen Coordinaten x', y', z' seyn mögen, wird 
dem Systeme tuv collinear-verwandt seyn, wenn 
gV+h'Y-i-k'VH-r 
gz' hy'-H kx' -+-1 f 
g V -f- h'Y H- k'V H- i" 
g z + h y' + k x^ + 1 
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