46o* INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, HOMOGENES EN — ET A, : 
Hère de (4g) dans le cas m — i, aura la valeur en intégrale définie 
(56) [même p. 267*], le développement en série (66) [p. 269*] et 
l’expression asymptotique (67) [p. 267*]. Puisqu’elle est déterminée, 
il viendra, pour satisfaire, dans l’hypothèse m = 1, à (4g), c’est-à- 
dire à l’équation aux dérivées partielles 
d 2 cp d h cp 
dt 2 ^ dx k 
(53) 
la somme de deux intégrales (où ; 2 se réduit à x 2 ), 
dot., 
sous la condition du moins que/'(oc) et/'(—cc) soient une même valeur 
limite, comme zéro par exemple. 
464*. — Usage de ces intégrales, pour les cas où la distance r à un centre 
fixe d’émanation a le rôle de variable principale. 
Les intégrales précédentes, empruntées aux types (42), sont spécia 
lement appropriées aux phénomènes d’émanation indéfinie autour de 
l’origine des distances r, c’est-à-dire aux cas où, cp ne dépendant que 
des deux variables r, t, et la variable r devant recevoir toutes les va 
leurs positives, on se donne, pour adjoindre à l’équation indéfinie 
(40? (46) ou (4g) de l’ordre 2 n par rapport à /■, et pour compléter 
ainsi la détermination du problème : t°, n relations linéaires à coefficients 
constants, spéciales à la limite /' = o, entre la fonction inconnue cp, 
certaines de ses dérivées successives en r ou t et des fonctions arbi 
traires de t\ 2 0 , n relations spéciales à l’autre limite r = œ, confon 
dues dans l’unique condition d’évanouissement asymptotique, cp=:o. 
Ces 2n conditions accessoires sont censées d’ailleurs se rapporter aux 
valeurs tant négatives que positives de t depuis —co jusqu’à H- 00, 
mais avec la supposition que le phénomène ail eu un commencement, 
c’est-à-dire que cp s’annule, tout au moins asymptotiquement, pour 
L —-00. 
On vérifiera cette dernière supposition en se bornant, dans toutes les 
intégrales définies (4a) que l’on emploiera, au signe inférieur —, au 
lieu du double signe ± qui figure dans l’expression de la variable bi 
nôme des fonctions arbitraires / et, de plus, en annulant les premières 
valeurs /(— 00) de chacune de celles-ci ; ce qui, pour t = — 00, réduira 
à zéro toutes les fonctions/ 5 avec leurs déri 
vées.