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I. Übungen zur Kreislehre und zur Lehre vom vollständigen Vierseit u. Viereck. 43
größer als 89, sind. Bei diesen führe man die Supplementwinkel
ein, z. B.
2 608 89, 608 7 Cp = 608 15 Cp + COS Cp = — cos (180° —1|180°) + cos cp
= — cos pj 180° + cos cp = — cos 2 cp -f- cos cp.
Dabei ergibt sich, daß jedes Glied viermal vorkommt, und so ent
steht wieder die obige Reihe
2lf=4 [cos cp — cos 2 cp + cos 3 cp — • • • — cos 8 cp] — 4 • = 2.
Aus den Gleichungen 4) und
5) XY = 1
kann man aber X und Y berechnen, und dies gibt zunächst
^ — 4 (* ± t y== i( — i ± y i7 )-
In Gleichung 2) ist cos 5 cp > cos 69?, also ist X positiv. Da ferner
XY = 1 ist, muß auch Y positiv sein. Daher sind in den letzten
Gleichungen nur die positiven Wurzelzeichen brauchbar, und es ist
eindeutig
6) X = cos 3 cp -f- cos 5 cp — cos 6 cp -f cos 7 cp = j (]/l 7 -f l)
7) Y = — cos cp + cos 2 cp + cos 4 cp -J- cos 8 cp = - (]/l 7 — l).
Damit ist es gelungen an Stelle der Gleichung 1), die acht
Unbekannte enthielt, zwei Gleichungen mit je vier Un
bekannten zu setzen.
Man versuche nun, in ähnlicher Weise diese Gleichungen in solche
mit nur je zwei Unbekannten zu zerlegen. Dies könnte auf drei ver
schiedene Arten geschehen. Als praktisch bewährt sich bei 6) die nahe
liegende Zerlegung in
8) £ = cos 3 cp + cos 5 cp,
9) — x = — cos 69) + cos 7 cp.
Dabei ist also
10) z - x = x = a (/17 + 1).
Durch Multiplikation u. s. w. erhält man aus 8) und 9)
21 x = 2 cos 6 cp cos 3 cp -f 2 cos 6 cp cos 5 cp — 2 cos 7 cp cos 3 cp — 2 cos 7 cp cos 5 cp.
Ersetzt man wiederum jedes Glied durch die Summe zweier Kosinus
und die über 8 cp hinausgehenden Winkel durch ihre Supplementwinkel,
so erhält man wiederum die Reihe 1), denn es wird
2%x = (cos 3cp -f cos 3 cp) + (cos 119) + cos 9?) — (cos 109? + cos 49,)
— (cos 12go + cos 2go), oder
2 h,x = cos cp — cos 29? + cos 3gp — • • • — 8 93 = j.
