24 A. Ausgleichungsrechnungnach derMethode der kleinsten Quadrate 
Nach dem Minimumsprinzip (Seite 3, (5)) ist der wahr 
scheinlichste Wert von x so zu bestimmen, daß [pvv\ ein kleinster 
Wert wird. Diese Forderung führt nach bekannten Regeln auf 
die Gleichung: 
(66) [pav\ =p x a 1 v 1 -\ p i a i v i d h P n a n v n = 0. 
Durch Einsetzen der aus den Gleichungen (65) hervorgehen 
den v -Werte entsteht aus Gleichung (66) die 
Normalgleichung: 
(67) [p a a] x = [p a . 
Daraus ergibt sich unmittelbar die Unbekannte: 
(68) »-M. 
v ' ypaa] 
An die Bestimmung des wahrscheinlichsten Wertes der Un 
bekannten schließt sich eine Fehlerberechnung, welche über die 
Genauigkeit der Beobachtungen und der Unbekannten Aufschluß 
gibt. Für den mittleren Fehler m 0 einer Beobachtung vom Ge 
wicht 1 besteht die Gleichung 1 ): 
(69) 
’«-± V itrr 
Die hiezu notwendigen, scheinbaren Beobachtungsfehler wer 
den, nachdem x ermittelt ist, aus den Gleichungen (65) abgeleitet: 
Vi = a t x - 
Hieraus wird dann \jpvv\ berechnet. Gute Kontrollen für die 
Fehlerberechnung sind außer Gleichung (66) folgende leicht ab 
zuleitende Gleichungen: 
(70) 
[pvv\ = [pll] — [pal]x — — [plv]. 
Den mittleren Fehler m x der Unbekannten findet man nach 
dem mittleren Fehlergesetz aus Gleichung (68): 
(71) « 
V[paa] 
1) Der für eine beliebige Zahl u von Unbekannten geltende Aus 
druck des mittleren Fehlers der Gewichtseinheit ist m a = —(-1/ 
r n — u 
wie in A. 18. gezeigt wird. 
Es 
gleichun 
zugleich 
, Be 
wurde d 
dann je 1 
zugehöri 
Jedes ir 
messung 
Koeffiziei 
Fehlergle 
Nr. 
a 
p 
1 
64 
3 
2 
49 
1 
3 
68 
2 
4 
50 
2 
5 
56 
1 
6 
53 
2 
7 
57 
2 
8 
32 
3 
9 
39 
3 
10 
31 
2 
11 
24 
3 
[+1 
H 
r±i