32 A. Ausgleichungsrechnung nach derMethode der kleinsten Quadrate 
abgekürzten Normalgleichungen : 
Pl^l +P2 a Z V 2 H \-Pn a n V n = \.P aV \ = 0, 
(95) + + • • +Pn h n v n = [i>H = °> 
.Pi c x ^ + i> 8 c 2 v 2 + • • • + p n c n v n = [p CV] = 0 , 
+ • • • + = |>dt;] = 0. 
Durch Einsetzen der aus den Fehlergleichungen hervorgehen 
den Ausdrücke der scheinbaren Beobachtungsfehler v in die ab 
gekürzten Normalgleichungen erhält man ein System von u Glei 
chungen mit u Unbekannten, aus welchem letztere eindeutig er 
mittelt werden können. Man nennt diese Gleichungen kurzweg die 
Norm algleichungen: 
[paa]x + [pab\y -f- [pac]z + [pad]u = [jpaZ], 
(96) t pab ] x + [P bh ]y + [pbc]z + [pbd]u = [pbl], 
[pac\x -f [pbc]y -f [pcc\z -f- [pcd]u = [pcl] , 
[pad]x -(- [pbd]y -f- [pccl\z -f- [pdd]u = [pdl \. 
Diese Gleichungen besitzen ein vollkommen symmetrisches 
Koeffizientensystem, für welches die den ersten Koeffizienten [p a a\ 
mit dem letzten [pdd] verbindende Diagonale die Symmetrie 
achse ist. 
14:. Reduktion der Normalgleichungen. Die Auflö 
sung durch Determinanten ist nicht empfehlenswert. Man verwendet 
vielmehr am besten ein bereits von Gauß angegebenes Eliminations 
verfahren, welches die Bezeichnung Gauß’scher Algorithmus trägt. 
Wir schreiben die Normalgleichungen noch einmal an und 
setzen zugleich die Absolutglieder auf die linke Gleichungsseite: 
A^ = [paa\x-f- \_pab\y -\- [pac]z -f [pad]u — [pal] = 0, 
A (1) = [pab]x -j- [pbb]y -f [pbc]z -f [pbd^\u — [pbl] = 0, 
A^ = \_pac]x -f \_pbc\y + [p c c]z [pcd]u — [pcl] = 0, 
A (3 ) = [pad]x -f- [pbd]y -f- [pcd]z + [pdd]u — [pdl] = 0. 
Nunmehr multiplizieren wir die erste Gleichung der Reihe nach 
[pah\ [pac] [pad] 
mit den Quotienten 
und subtrahieren diese 
[paa] ’ [paa]’ [paa] 
neuen Gleichungen von den übrigen unveränderten Normalglei 
chungen :