40 A. Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate 
[paa] A 4 -f Yp ab] X 2 -f [pa c] X 3 -f [pad] A 4 = 1, 
(121) + [pbb]X 2 + [pbc]X 3 + [pbd]X A = 0, 
[pac\ X x + [pbc]X 2 + [p cc]A 3 -f [pc d] A 4 = 0, 
\pad]X x -f- [pbd\X 2 -f [pcd]X 3 + \pdd]X A = 0. 
Werden nach ausgeführter Multiplikation die Normalgleichungen 
reihenweise addiert, so bleibt: 
(122) x = [pal]X x + [phl]X 2 + [pcl]X 3 + [pdl JA 4 . 
Aufgelöst und nach Beobachtungen geordnet, ergibt sich: 
x (ih a x A 4 -)- p x b x X 2 -f- p x c x A 3 P\ d x A 4 ) lj 
(123) + (Ps a a x i ~^Pa^a x a J r Pa c a x s +Pa d a X 4 )l 2 
+ (Pn a n X l +P n K X 2 +Pn C n X S +Pn d n x i) l n ■ 
Außerdem ist nach Gleichung (117): 
x = a x l x -f o'. 2 l 2 + • • • + aj n . 
Durch Koeffizientenvergleichung ergibt sich also; 
ß i = Pi a i X i + P\ b x X 2 -f- p x c x A 3 -j- p x d x A 4 , 
(124) a 2 = Pa a a X i ^rPa ^a X a ^ Pa c a ^3 ^Pa d a X ^ 
a n-P n a n X 1 +Pj\ X a +Pn C n X 8 +Pn d n X i- 
Mit Hilfe dieser Gleichungen läßt sich J^-^J aufstellen. Denkt 
man sich die Ausdrücke für die einzelnen — sogleich ausmulti 
pliziert und nach den A geordnet, so wird: ^ 
[y] = X i{\-P aa \ X x + [pab]X 2 -f [pac]A 3 + [pad]X^) 
(125) + X 2 ([pab]X x + [pbb] X 2 + [pbc]X 3 + [pbd] A 4 ) 
+ X z {[pac\ A 1 -f [pbc] X 2 -f [p c c] A 3 + [p c d] A 4 ) 
+ X ii[pad\X x -f- [pbd]X 2 -f- [pcd] A 3 -f- [pdd] A 4 ). 
Nach den Gleichungen (121) ist in diesem Ausdruck der Summen 
faktor von X x gleich 1, während die Faktoren der übrigen unbe 
stimmten Koeffizienten A Null sind; es ist daher: 
(W6) [y] = ^-