№ I 
Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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Wir verlängern jetzt AE um EG == h (Fig, 26) und legen 
GH unter dem Winkel n — ip an, so ist offenbar wie vorher 
CR f (y + h) 
sin Ip. 
Da <5( AFE = il> -f- dtp ge 
setzt ist, wird HFJ = — dtp sein, 
wenn EFJ — n — ip gemacht 
wird. Dann ist, wenn h un 
endlich klein angenommen wird, 
EF = GJ, FJ = EG. Weil 
{f (y + h) — f(y)} ist, und im Dreieck FHJ der Seite HJ der 
unendlich kleine Winkel HFJ = — dip gegenüberliegt, dessen 
Sinus gleich dem Bogen selbst ist, so folgt zunächst 
HJ_ di/j 
FJ sin (xp + di/i) 5 
und wenn hierin die obigen Werte eingesetzt werden: 
f (y + h) — f (y) ä dtp' 
h d(f 
Da der Wert auf der rechten Seite dieser Gleichung von h 
unabhängig ist, wenn h nur unendlich klein angenommen wird, 
so erreicht auch die linke Seite für immer kleiner werdende Werte 
von h einen bestimmten Grenzwert, nämlich den Differential 
quotienten f (y) von f(y) nach y; das giebt die Gleichung: 
dip 
(3) 
d (p 
-f(y). 
Ich betrachte jetzt ein Dreieck ABC (Fig. 27) und teile es 
durch gerade Linien, welche von A ausgehen, in lauter beliebig 
kleine Dreiecke. Setze ich CAB = c/, 
AG =y, <£ AC'B — ip, CB = x, so 
entspricht diesen Festsetzungen: C"AB 
= <f + dy, <L AC"B = ipdip, AC" fyty 
^y+^y, C'C^dx, und es gelten 
die aufgestellten Gleichungen (1) — (3). 
Indem ich die erste mit der zweiten 
multipliziere und durch die dritte divi- ' 
diere, folgt: