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Erster Abschnitt. § 25. 
schewskyschen, das dritte der Riemannschen Geometrie und ihrer 
Polarform. Wir sind daher wieder zu den früher behandelten 
Raumformen geführt. 
§ 25. 
Zweite Behandlung eines ebenen endlichen Gebietes. 
Solange man die Gesetze für unbegrenzt wachsende Gebiete 
nicht kennt, ist es von der gröbsten Wichtigkeit, sich auf ein 
endliches, vollständig begrenztes Gebiet zu beschränken und zuerst 
die in demselben geltenden Gesetze zu ergründen. Indessen 
scheinen sich dann für die geometrische Untersuchung ganz be 
sondere Schwierigkeiten zu ergeben. So hat z, B. Legendre im 
allgemeinen versucht, seinen Entwicklungen ein ganz bestimmtes 
endliches Dreieck zu Grunde zu legen; aber für diejenige Kon 
struktion, durch welche er einen für seine Theorie fundamentalen 
Satz beweist, benutzt er ein Dreieck, von welchem zwei Seiten 
unbegrenzt zunehmen (vergl. § 5. S. 9). Ebenso scheint Saccheri 
zu verfahren, indem er zwar im allgemeinen von einer gewissen 
endlichen Figur ausgeht, aber doch für gewisse Sätze die Linien 
unbegrenzt verlängert. Die im vorigen Paragraphen gegebene 
Herleitung geht über ein bestimmtes Gebiet nach keiner Richtung 
hinaus und beweist, dafs dafür nur drei Fälle möglich sind. Dabei 
ist es aber notwendig, vorher unendlich kleine Gebiete zu unter 
suchen und Rechnungen mit infinitesimalen Gröfsen vorzunehmen. 
Zwar ist es recht wohl möglich, die Rechnung durch rein geo 
metrische Betrachtungen zu ersetzen; aber es ist nicht zu leugnen, 
dafs dadurch der Beweis etwas schwerfällig wird. Bei der Wich 
tigkeit des gefundenen Resultates dürfte es sich immerhin lohnen, 
eine zweite Herleitung zu geben, wenngleich dieselbe wesentlich 
an denselben Mängeln leidet. Auch hier müssen wir die Gesetze 
für unendlich kleine Figuren voraussetzen und von der Rechnung 
einigen Gebrauch machen. Der Unterschied der beiden Herlei 
tungen liegt in folgendem. 
Der vorhin gegebene Beweis schliefst sich an einen Gedanken 
an, der im wesentlichen bereits von Gaufs in seinen Disquisitiones 
circa superficies curvas benutzt worden ist und dann in Entwick 
lungen der Herren Flye St. Marie und Newcomb eine Rolle' 
gespielt hat, indem man von einem Punkte zwei kürzeste Linien