Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
8' 
ausgehen läfst, welche einen unendlich kleinen Winkel einschliefsen. 
Die folgende Herleitung schliefst sich an einen Gedanken an, 
welchen Saccheri seinen Untersuchungen zu Grunde legt. Man 
geht von einer geraden Strecke DE aus, errichtet auf ihr in der 
selben Ebene zwei gleich grofse Senkrechte DF und EG, und 
zieht die Gerade EG. Ich nehme jetzt DE = dx unendlich klein 
an und setze DF = EG = y. Dann ist EG für ein unendlich 
kleines DE dieser Länge porportional, und zudem abhängig von 
DF, so dafs gesetzt werden kann: 
(1) EG = (p (y) . dx. 
Je kleiner y wird, um so näher kommt EG an DE, also ist 
(2) (f (0) = 1. 
Verlängern wir DF und EG je um dieselbe unendlich kleine 
Strecke FH = GJ = dy, so ist auch 
H J = <f (y + dj) • dx. 
Auf das unendlich kleine Viereck FGJH kann man die eu 
klidische Geometrie anwenden; zieht man durch G die GK (] FH 
und durch F eine Gerade LF, welche die GJ in M trifft, so ist 
<£• LMG = LED — KGJ. Wird also <£ LFD = q, <£ EMG 
= q -j- d(> gesetzt, so ist KGJ = — d(>. 
Nun ist 
• ,x/n i K J 
sm F KGJ = 
oder wegen der Kleinheit des Winkels: 
d(> = <J (y + dy) — (/ (v) 
dx dy 
dx 
Hier ist die linke Seite unabhängig von dy; also erhalten 
wir auf beiden Seiten einen bestimmten Grenzwert. Unter den 
gemachten Annahmen ist demnach: 
£ 
Nach diesen Vorbereitungen be 
trachte ich ein rechtwinkliges Dreieck 
ABC, wo C der rechte Winkel ist. Ich 
zerlege dieses Dreieck durch lauter Senk 
rechte, welche auf AG errichtet werden, 
in unendlich kleine Streifen. Nun wird 
gesetzt: AD = x, DE = dx, DF = y, ^ 
D E C