Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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woraus durch Integration folgt: 
(13) sin ^ = sin ~ sin «, 
wobei berücksichtigt werden mufs, dafs z und x zugleich ver 
schwinden. Aus den Gleichungen (7), (8), (13) für g=ß, x = b > 
y — a leiten wir aber leicht die Formeln für jedes Dreieck her. 
Der Fall, dafs k 2 = 00 und damit y' (y) =0, <p(y) = 1 ist, 
erledigt sich sehr einfach, da alsdann nach (4) d(> = 0, y = z cos ß, 
x=zsin/? ist, so dafs sich die Gleichungen der gewöhnlichen 
Trigonometrie ergeben. Der Fall k 2 = 0 mufs, wie man leicht 
sieht, ausgeschlossen werden. 
Wir fügen noch folgenden Satz bei: 
Errichtet man in zwei unendlich nahen Punkten M und N 
einer Geraden gleiche Senkrechte nach derselben Seite in einer 
Ebene, und durchschneidet sie durch eine Gerade LPR, so ist 
das Verhältnis 
« ERN — LPM) 2 
MN 2 — PQ 2 
für alle Längen MP und alle Winkel LPM konstant und gleich 
dem Riemannschen Krümmungsmafs der Raumform. 
Ersetzt man auf der linken Seite von (11) x durch y, und 
nimmt dann für y (y) und y' (y) ihre aus (4) folgenden Werte, 
so folgt 
1 d(> 2 
k 2 dx 2 —dz 2 , sin 2 q’ 
wodurch der Satz bewiesen ist. 
§ 26. 
Rückblick. 
Als Euklid sein System auf baute, gelangte er mit voller 
Strenge zu dem Satze: Wenn zwei gerade Linien (derselben