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Erster Abschnitt. § 26. 
Ebene) von einer dritten Geraden geschnitten werden und die 
Summe der beiden innern, an derselben Seite gelegenen Winkel 
zwei Rechte beträgt, so können sie sich nicht schneiden, wie 
weit man sie auch verlängern mag. Indessen war es ihm nicht 
möglich, für die Umkehrung dieses Satzes einen Beweis zu finden. 
Da er aber die Umkehrung für sein System nicht entbehren 
konnte, setzte er sie als fünftes Postulat in den Anfang des Werkes. 
Dadurch erkannte er offen an, dafs hier eine für ihn unlösliche 
Schwierigkeit vorhanden war, und indem kein Versuch gemacht 
wurde, sie zu verschleiern, wurde sie dem Leser leicht erkennbar. 
Es fehlte daher auch nicht an Versuchen, ein genügendes Fun 
dament für die Theorie zu schaffen; gar mancher glaubte, es sei 
ihm gelungen, die Lücke auszufüllen; auch fanden einzelne Ver 
suche einen gröfseren oder kleineren Kreis von Anhängern; aber 
kein einziger konnte sich allgemeiner Zustimmung erfreuen. Schon 
dieser Umstand macht es sehr wahrscheinlich, dafs ein genügendes 
Fundament nicht möglich ist. Denn wir befinden uns hier aut 
einem durchaus elementaren Gebiet; wenn da ein genügender 
Beweis erbracht werden könnte, so müfste er gewifs in den zwei 
tausend Jahren, während welcher die Gelehrten sich um seine 
Auffindung bemüht haben, geliefert worden sein. Desungeachtet 
haben wir die bekanntesten Versuche (§§ 2—5) genauer geprüft 
und für alle die Fehlerquelle nachgewiesen. 
Dadurch werden wir mit zwingender Notwendigkeit auf die 
Vermutung geführt, es sei vielleicht gar nicht möglich, das fünfte 
Postulat Euklids aus seinen übrigen Voraussetzungen herzuleiten. 
Um hierüber ins reine zu kommen, ersetzen wir die Begriffe der 
Geometrie durch andere Begriffe, für welche ebenfalls alle übrigen 
/ von Euklid gemachten Voraussetzungen gelten, und wir fragen 
uns, ob es möglich ist, die neuen Begriffe derartig zu wählen, 
dafs für sie das fünfte Postulat nicht mehr gültig ist. Das gelingt 
in mehrfacher Weise. 
Einmal (§ 6) ersetzen wir die Ebene durch gewisse Flächen, 
welche nach dem Vorgänge von Gaufs als solche von konstanter 
negativer Krümmung bezeichnet werden. Die Geraden der Ebene 
finden ihr Analogon in den kürzesten Linien der Fläche, und die 
Kreise in gewissen geschlossenen Kurven. Bei dieser Übertragung 
können wir zu allen ebenen Gebilden ein Analogon aufstellen;