Berechtigung der nicht-eukiidischen Raumformen. 
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die sämtlichen weiteren Voraussetzungen Euklids und infolge 
dessen auch alle seine Sätze, welche von der Parallelentheorie 
unabhängig sind, bleiben in Gültigkeit. Aber die Lehre von den 
Parallelen und die aus ihr fliefsenden Folgerungen müssen durch 
andere Wahrheiten ersetzt werden; namentlich ist die Winkel 
summe für ein aus kürzesten Linien gebildetes Dreieck kleiner 
als zwei Rechte. 
So interessant diese Übertragung ist, leidet sie für unsere 
Zwecke an einigen Mängeln. Der Beweis derjenigen Sätze, auf 
welche es uns ankommt, erfordert ein recht tiefes Eingehen in 
schwierigere Partieen der Mathematik; wir mufsten uns deshalb 
damit begnügen, die einzelnen Sätze ohne Beweis rein historisch 
anzuführen. Andererseits kann man noch einwenden: Die Be 
trachtung dieser Flächen zeigt wohl, dafs die Parallelen-Theorie 
durch Untersuchung der Ebene nicht bewiesen werden kann, 
aber es ist denkbar, dafs uns räumliche Betrachtungen den ge 
suchten Beweis liefern. Dieser Einwand wird durch eine Über 
tragung beseitigt, welche zudem den Vorzug besitzt, nur geringere 
mathematische Kenntnisse vorauszusetzen. 
Die einzelnen Teile des Raumes können in mannigfacher 
Weise auf einander bezogen werden; man bezeichnet jede solche 
Operation kurz als eine Umformung des Raumes. Besonders 
wichtig sind diejenigen Transformationen, bei denen die Ebenen 
und Geraden wieder in Ebenen und Geraden übergehen. Eine 
solche Transformation wird als eine projektive bezeichnet. Die 
Schar derselben kann so beschränkt werden, dafs eine Kugelfläche 
(oder allgemeiner eine ungeradlinige Fläche zweiten Grades) in 
sich verbleibt. Indem man sich auf das Innere dieser Kugel 
beschränkt, welches natürlich in sich verbleibt, und nur Trans 
formationen der bezeichneten Art betrachtet, bleiben die Begriffe 
von Ebene und Gerade unverändert; Kugel und Kreis müssen 
durch gewisse andere Gebilde ersetzt werden; auch mufs man 
für die Länge einer Strecke und für die Gröfse eines Winkels 
neue Gröfsen einführen. Dieser Anschauung genügen alle Gesetze, 
welche im Beginne der Geometrie aufgestellt werden, speziell 
die von Euklid gegebenen Definitionen, Axiome und Postulate, 
soweit sie nicht vom Parallelaxiom abhangen. Aber die Parallelen- 
Theorie gilt bei dieser Anschauung nicht mehr; es ist also un