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Erster Abschnitt. § 26. 
möglich, das fünfte Postulat aus den übrigen Voraussetzungen 
der Geometrie herzuleiten (§ 7). 
Nun kann man noch die Frage stellen, ob die Parallelen 
theorie wenigstens durch die Erfahrung gefordert wird. Auch 
diese Frage mufste in § 8 wenigstens vorläufig verneint werden. 
Gewifs pafst Euklids System ganz vorzüglich zu unserer Erfahrung; 
aber da wir unsere Zeichnungen statt mit Linien stets mit Körpern 
ausführen, da alle unsere Messungen mit Fehlern behaftet sind, 
können wir die Parallelen - Theorie höchstens als sehr wahr 
scheinlich, aber nicht als unbedingt gewifs hinstellen. 
Wir schlagen daher jetzt (§§ 9—13) den umgekehrten Weg 
ein. Wir machen die Annahme, das Parallel - Axiom sei falsch, 
und untersuchen, ob wir zu einem innern Widerspruch geführt 
werden. Das ist nicht der Fall, vielmehr ergiebt sich eine voll 
ständig in sich abgeschlossene Theorie über die gegenseitige Lage 
von Geraden in einer Ebene und von Geraden und Ebenen des 
Raumes. Auch die einfachsten krummen Gebilde (§ 14) folgen 
Gesetzen, wie sie bereits bei der Kugelfläche vorgezeichnet sind. 
Schon hiermit ist die innere Berechtigung einer Geometrie er 
wiesen, welche sich in Gegensatz stellt zu Euklids Voraussetzung 
über die Parallelen. Denn alle weiteren Beziehungen der Raum 
gebilde sind nur weitere Fortbildungen der für die Ebenen und 
Geraden geltenden Gesetze, können also zu keinem Widerspruch 
führen, wenn ein solcher nicht bereits in den früheren Sätzen 
hervortritt. 
Für die Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines 
Dreiecks können Formeln (§ 15) aufgestellt werden, welche mit 
der hier verfolgten Voraussetzung in Einklang stehen, welche ge 
statten, aus drei Bestimmungsgröfsen die übrigen zu berechnen, 
und welche in allen Fällen, wo durch Konstruktion eine geo 
metrische Lösung möglich ist, auch zu reellen Resultaten führen. 
Endlich giebt es analytische Formeln (§ 16), welche einerseits 
mit dem Parallel-Axiom unvereinbar sind, andererseits aber allen 
weiteren Voraussetzungen Euklids genügen. Mit solchen Formeln 
ist aber implicite die ganze Geometrie gegeben; denn nachdem 
die Grundformeln aufgestellt sind, gründen sich alle geometrischen 
Sätze auf analytische Umformungen. Wenn die Grundlagen der 
Rechnung den geometrischen Anschauungen genügen, so können