Die projektive Geometrie.
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§ 3.
Das Doppelverhältnis von vier Punkten einer Geraden.
a) Wenn drei Punkte einer Geraden beliebig gewählt sind,
so kann man jeder ganzen positiven Zahl einen und zwar nur
einen Punkt der Geraden zuordnen. Die gegebenen Punkte be
zeichnen wir als P 0 , P l5 Pqq und nehmen an, Pi liege zwischen
P 0 und Pqo. Dann suchen wir zu PqqPiPo den vierten harmo
nischen Punkt und bezeichnen ihn als P 2 ; ebenso bestimmen wir
P 3 durch die Forderung, dafs P00P2P1P3 vier harmonische Punkte
sind. Auf diese Weise kann man aber beliebig fortfahren und
jeder ganzen positiven Zahl v einen Punkt Pr durch die Forderung
zuordnen, dafs allgemein
Pc» P »•—i P V—o P V,
wo v eine positive ganze Zahl ist, harmonisch liegen sollen.
Da P, zwischen P 0 und Pqq angenommen ist, so liegt P 3
zwischen Pi und Pqq, P 3 zwischen P 2 und Pqq, überhaupt Pr
zwischen Pr_i und Pqq, oder die Punkte folgen in derselben
Weise, wie die Zahlen der natürlichen Zahlenreihe.
b) Diese Zuordnung 21 ) von Zahlen und Punkten kann durch
eine einfache und übersichtliche Konstruktion bewerkstelligt werden.
Man lege durch P O0 eine beliebige Gerade (Fig. 33) und nehme
A
auf ihr zwei Punkte A und B an. Nach dem Schnittpunkte von
P 0 B und Pj A ziehe man durch Pqq eine Gerade g } ; deren Schnitt-