Full text: Einführung in die Grundlagen der Geometrie (1. Band)

Die projektive Geometrie. 
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§ 3. 
Das Doppelverhältnis von vier Punkten einer Geraden. 
a) Wenn drei Punkte einer Geraden beliebig gewählt sind, 
so kann man jeder ganzen positiven Zahl einen und zwar nur 
einen Punkt der Geraden zuordnen. Die gegebenen Punkte be 
zeichnen wir als P 0 , P l5 Pqq und nehmen an, Pi liege zwischen 
P 0 und Pqo. Dann suchen wir zu PqqPiPo den vierten harmo 
nischen Punkt und bezeichnen ihn als P 2 ; ebenso bestimmen wir 
P 3 durch die Forderung, dafs P00P2P1P3 vier harmonische Punkte 
sind. Auf diese Weise kann man aber beliebig fortfahren und 
jeder ganzen positiven Zahl v einen Punkt Pr durch die Forderung 
zuordnen, dafs allgemein 
Pc» P »•—i P V—o P V, 
wo v eine positive ganze Zahl ist, harmonisch liegen sollen. 
Da P, zwischen P 0 und Pqq angenommen ist, so liegt P 3 
zwischen Pi und Pqq, P 3 zwischen P 2 und Pqq, überhaupt Pr 
zwischen Pr_i und Pqq, oder die Punkte folgen in derselben 
Weise, wie die Zahlen der natürlichen Zahlenreihe. 
b) Diese Zuordnung 21 ) von Zahlen und Punkten kann durch 
eine einfache und übersichtliche Konstruktion bewerkstelligt werden. 
Man lege durch P O0 eine beliebige Gerade (Fig. 33) und nehme 
A 
auf ihr zwei Punkte A und B an. Nach dem Schnittpunkte von 
P 0 B und Pj A ziehe man durch Pqq eine Gerade g } ; deren Schnitt-
	        
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