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Zweiter Abschnitt. § B. 
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punkt mit PiB verbinde man mit A, wodurch man zu P 2 gelangt; 
der Schnittpunkt von P 2 B mit g t führt durch seine Verbindung 
mit A zu P 3 u. s. w. Um von Pv zu 1\ +1 zu gelangen, ziehe 
man PyB und lege durch ihren Schnittpunkt mit g t und A eine 
neue Gerade; ihr Schnittpunkt mit der gegebenen Geraden ist 
der Punkt Pv+i. 
c) Da die ganze Zahl r eine bestimmte Operation angiebt, 
durch welche der Punkt Pv aus den Punkten Pqq, P 0 , P t erhalten 
wird und da diese Operation von den gegebenen drei Punkten 
aus für ein gegebenes v einen einzigen Punkt liefert, so soll sic 
das Doppelverhältnis der vier Punkte PooP 0 PiPv (in dieser 
Folge) genannt und mit (PqoPoPiPv) bezeichnet werden. In 
diesem Sinne ist die symbolische Gleichung: 
>■ = (PooPoPi Pr) 
zu verstehen, welche stets ein System von r — 1 analogen sym 
bolischen Gleichungen von der Form 
(P00P0P1P2) = 2, (P00P0P1P3) = 3 .. .. . (P00P0PJU) = r 
vertritt, in denen P 2 den vierten harmonischen Punkt zu PooPiPo, 
P 3 den vierten harmonischen Punkt zu P o0 P 2 Pi u. s. w. bedeutet. 
Das Symbol ist dadurch gerechtfertigt, dafs man, um von den 
Punkten Pqq, P 0 , Pi zum Punkte Pr zu gelangen, (y— l)-mal 
nach der gegebenen Vorschrift den vierten harmonischen Punkt 
suchen mufs. 
d) Wenn vier von einem Punkte ausgehende Strahlen von 
zwei Geraden durchschnitten werden und ihre Schnittpunkte auf 
der einen Geraden das Doppelverhältnis v haben, so haben die 
entsprechenden Schnittpunkte auf der andern Geraden dasselbe 
Doppelverhältnis; demnach bezeichnen wir diese Zahl als das 
Doppelverhältnis der vier Strahlen. 
Dieser Satz folgt unmittelbar daraus, dafs das Doppelverhältnis 
durch Konstruktion harmonischer Punkte bestimmt wird, letztere 
aber bei perspektivischer Zuordnung wieder in harmonische Punkte 
übergehen. In der That seien auf der einen Geraden die Punkte 
Poo, Po, Pi, Pv so gegeben, dafs (PocPoPiPv) = v ist. Von S 
mögen die vier Strahlen s 0jO , s 0 , s l5 s v nach diesen vier Punkten 
gehen und eine zweite Gerade in Q O0 , Q 0 , Q t , Qv treffen. 
Man füge die Punkte P 2 , P 3 . . . P^_, hinzu, so dafs 
PcoPiPpP,, PqoP.^P. . . . PcoPv-tPv-s.Pv