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Zweiter Abschnitt. § 3.
vier Punkte ist, in denen sie von einer beliebigen Geraden ge
schnitten werden. Im vorliegenden Falle ziehe man vom Punkte
A aus die vier Strahlen a l00j a«, a iM+1 , a^ +v nach den vier Punkten
Pooj P/U+n P,m+v; diese vier Strahlen durchschneide man durch
die Gerade b^ und ziehe nach den vier Schnittpunkten die Strahlen
vom Punkte Pqo aus. Nun wird die Gerade b w von aoo l n B,
von a« in P,« geschnitten, während der Schnittpunkt von b« mit
a iM+1 in gi liegt. Zieht man also von Pqq die Gerade g v nach
dem Schnittpunkt von b^ mit a./u+v, so ist das Doppelverhältnis
der vier Geraden goo, g 0 , g 1? gv gleich r. Da aber durch Pqq
nach fester Wahl von goo, go, gi nur eine einzige Gerade g v
geht, für welche das Doppelverhältnis (googogigv) — r ist, so
gelangt man immer zu derselben Geraden gv, von welchem
Punkte P^ man auch ausgeht.
g) Das Doppelverhältnis der vier Punkte Pqo, Po, P«, P«v
ist gleich r.
Um zu den drei Punkten Pqq, P«, P 0 den vierten harmo
nischen Punkt zu konstruieren, benutzt man wieder die Punkte
A und B, indem man die Geraden BP 0 und AP« zieht, ihren
Schnittpunkt durch eine Gerade g' mit Pqo verbindet, darauf die
neue Gerade BP« zieht, ihren Schnittpunkt mit g' bestimmt und
ihn von A aus auf die gegebene Gerade projiziert. Der auf diese
Weise gefundene Punkt ist mit 1A« identisch, weil die Gerade g'
dieselbe Linie ist, welche in f) mit g« bezeichnet wurde. Um
die Punkte P 3 «, P, t « . . . Pv« unmittelbar zu erhalten, hat man in
der unter b) angegebenen Konstruktion nur g! durch g« zu
ersetzen.
h) Fafst man die Sätze e) und g) zusammen, so folgt;
V (i
(PooPßP«+^P«+^v) = r, oder wenn «, ß, y und ganze po-
p — a
sitive Zahlen sind, so ist:
(PooP«P^P)0 =
Es ist vielleicht angebracht, diesen Satz auf den vorange
henden direkt zurückzuführen. Man projiziere die vier Punkte
Poo, P« 5 P/A Py von B aus auf gi und die vier hierdurch auf
g t bestimmten Punkte von A aus auf g 0 . Diese Konstruktion
führt jeden Punkt P^ in P v o_i über, und da hierbei die Doppel-
