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Zweiter Abschnitt. § 3. 
harmonischen Punkt zu P 0 , Pr, Poo? s0 mufs er zwischen P 0 
und M liegen. Diesem Punkte haben wir aber die Marke 
beizulegen, so dafs die obige Annahme als unmöglich erwiesen ist. 
Als Beispiel betrachte ich die Reihe: 
i. 
45 
lV> iHb 2 8 o 5 6‘> tWt 
Nehme ich einen dieser Brüche gleich und suche ich den 
Punkt P 3i u durch die Festsetzung, dafs P 00 P i aP 0 P2 ( a, PooPs/wPA/« 
harmonische Punkte sind, so erhalte ich für P 3( a der Reihe nach 
Punkte mit den Marken 
A 
45 
6 3. 2 5 5 
T45 Y'of} 
10 2 3 
10 2 4 
Dieser Punkt kann an 
folglich habe ich auch 
Punkt mit der Marke 4 
gebracht werden; 
Reihe definierten 
Pt unbegrenzt nahe 
den durch die erste 
zu versehen. 
Noch deutlicher übersieht man dies, wenn man den gesuchten 
Punkt zwischen je zwei auf einander folgenden Punkten einschliefst, 
deren Marken sind: 
4. A 
45 85 
T64 
1 1 
It5 t¥s-5 Mg 
o) Will man sich nicht auf die blofse Aufsuchung von vierten 
harmonischen Punkten beschränken, so kann man den Punkt Pi 
auch durch die Forderung 
(PooPoPi PO = (PooPoPi P,«) 
/z 
definieren. Auch jetzt kann man den Punkt Py durch blofses 
fZ 
Ziehen von geraden Linien finden. Wir ordnen die Punkte der 
Geraden g 0 denen einer zweiten und diese denen einer dritten 
und die der letzten wiederum den Punkten von g 0 perspektivisch 
zu und richten die Zuordnung so ein, dafs Pqq und P 0 sich 
selbst entsprechen, dafs aber dem P^ der Punkt P x entspricht; 
dann mufs dem Punkte P x der Punkt Pp entsprechen. Wie die 
fZ 
Zeichnung zu machen ist, findet man in jedem Lehrbuch der 
neueren synthetischen Geometrie. Dafs alle früheren Gesetze 
bestehen bleiben, braucht nicht näher bewiesen zu werden. 
p) Ein Doppelverhältnis geht in seinen reziproken Wert über, 
wenn man entweder den ersten und zweiten oder den dritten 
und vierten Punkt mit einander vertauscht.