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Zweiter Abschnitt. § 5. 
x-(A,A.E,P,.)-(E 1 A 1 E,) 
y = (A 3 A,E 2 P ! ) = (E 1 A 1 Ei) 
auf dieser Geraden die Zahlen a und ß zugeordnet, so möge die 
Differenz « — ß der Kürze wegen durch QR bezeichnet werden. 
Die Gerade möge von A 3 P in x und von A 2 P in X ge 
schnitten werden. Dann ist: 
EiE Ejx 
EÄ X ' xAx 5 
E)E E X A 
EA X : /.A, ’ 
Daraus folgt: 
x Ex/ Et x , . 
y Va ; Aa. 
Dies Doppelverhältnis ist aber, wie man durch Projektion 
von A 2 aus erkennt, gleich (A 3 P 3 Px), und dies, wie die Pro 
jektion von A, aus zeigt, gleich (A 3 A2PiE!). 
Demnach folgt unter Berücksichtigung von § 3, p): 
(2) ^ = (A 2 A 3 E 1 P 1 ). 
Jetzt können wir für jede gerade Linie, welche durch einen 
der drei Eckpunkte des Koordinaten-Dreiecks geht, die Gleichung 
aufstellen. Wählen wir P beliebig in der Geraden A 3 P 3 , so ändert 
sich das Doppelverhältnis ^^AxEsPg) nicht; somit stellt die 
Gleichung: 
x = const. 
eine durch A 3 gehende Gerade dar. Ebenso wird für jede Gerade, 
welche durch A 2 geht, y ungeändert bleiben, oder y = const. sein. 
Endlich wird, wenn P in der Geraden AxPi beliebig verschoben 
wird, das Doppelverhältnis (A-jAgE^x) ungeändert bleiben, oder 
die Gleichung: x = ( uy stellt bei konstantem Werte von eine 
durch At gehende Gerade dar. 
Um die Gleichung einer b eliebigen andern Geraden zu finden 
ändere ich das Koordinatensystem um. Zunächst bemerke ich, 
dafs eine andere Wahl des Punktes E keinen weiteren Erfolg hat, 
als dafs die Punkte E t , E 2 , E 3 auf den Seiten andere Lagen 
erhalten und dafs demnach hierbei x und y (nach § 3 g) nur 
mit konstanten Faktoren multipliziert werden. Wir werden daher 
diese Änderung im folgenden nicht weiter erwähnen, und möchten 
nur darauf hinweisen, dafs eine Änderung in der Wahl des Punktes