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Zweiter Abschnitt. § 5. 
Die neuen Koordinaten stehen aber zu den früheren in einer 
sehr einfachen Beziehung. Vergleichen wir die Definitionen (3) 
und (4) mit den in (1) aufgestellten, nehmen die Gleichung (2) 
hinzu und beachten, dafs nach § 3, p) jedes Doppelverhältnis bei 
Vertauschung der beiden ersten Elemente seinen reziproken Wert 
erhält, so folgen die Beziehungen: 
(5) x x =-, yi 
y 
72 
1 
y' '■ 7* 
Hiernach ist es leicht, das Koordinatendreieck ganz beliebig 
umzuändern. Indem wir die Punkte A 2 und A 3 ungeändert lassen 
und Ax durch einen Punkt A t ' auf Ai A 2 ersetzen, dann noch E 
durch einen passenden andern Punkt ersetzen, bleibt, wie wir 
gesehen haben, y ungeändert, während x in x — a übergeht. 
Wählen wir jetzt Ax° in der Geraden A 3 Ax', so wird y in y—b 
übergehen, während die andere Koordinate ungeändert bleibt. 
Indem wir also die Punkte A 2 und A 3 beibehalten, aber Ai durch 
einen andern Punkt Ax° der Ebene ersetzen, erhalten wir neue 
Koordinaten x', y', welche aus den früheren durch die Gleichungen 
erhalten werden: 
(G) x' = x + a, y' = y + b. 
Mit diesen Koordinaten (x', y') stehen aber wieder neue 
(xx', yx') in Verbindung durch die Beziehung: 
Von diesen gehen wir jetzt aus und ersetzen den bei ihnen 
bevorzugten Punkt A 2 durch einen anderen Punkt A 2 ° der Ebene; 
die neuen Koordinaten nennen wir xx", yx" und finden in ganz 
entsprechender Weise; 
xx" = x, +c, yi" = yi' + d. 
Nun bevorzugen wir aber wieder den Punkt Ai 0 und nennen 
die so erhaltenen Koordinaten x", y _ 
erhalten: 
- 1 - y 
wodurch wir die Beziehungen 
Xi = 
7i 
Daraus folgt: 
1 1 , 
(<) x"”x‘ ; + c ’ 
r,+ <1.