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Zweiter Abschnitt. § 5. 
Man ersetze die Koordinaten x, y durch andere X, Y, für welche 
wenigstens eine Seite getroffen wird. Dann ist in den neuen 
Koordinaten die Gleichung der Geraden: 
AX + BY + C = 0. 
Indem man hierin für X und Y die aus (9) fliefsenden 
Werte einsetzt, erhält man: 
ax + by + c = 0, 
wo A, B, C, a, b, c konstante Gröfsen sind. 
Man kann die Lage der Punkte einer Geraden noch in anderer 
Weise durch Koordinaten darstellen. Sind (x', y ) und (x", y") 
zwei beliebige Punkte, so gehört der durch diese Punkte gelegten 
Geraden auch jeder Punkt an, dessen Koordinaten bei beliebigem 
Werte von X sind x' — X(x'— x") und y' — X (y'—y' 7 ). Wenn 
auf dieser Geraden ein vierter Punkt mit den Koordinaten x' — 
fi(x — x") und y' — fi (y' — y') gewählt ist, so stellt der Quotient 
fi; X das Doppelverhältnis der vier Punkte dar. In ähnlicher 
Weise können wir auch das Doppelverhältnis von vier Strahlen 
eines Büschels darstellen. Wenn nämlich: 
(10) ax-f-by-}-c = 0 und a'x -f- b'y -J- c = 0 
die Gleichungen zweier Geraden sind, so geht für ein beliebiges 
X die Gerade: 
(11) (a —|— Aa ) x -)— (b —(- Xh )y —|— (c -|- Xc ) = 0 
durch den Schnittpunkt der beiden ersten Geraden hindurch; die 
Gleichung bestimmt also den Büschel aller Strahlen, welche durch 
den Schnittpunkt hindurchgehen. Man nennt jedoch die Gesamt 
heit der durch die Gleichung (11) bestimmten Geraden auch 
dann einen Büschel, wenn ein Schnittpunkt, wenigstens in dem 
abgegrenzten Gebiete nicht vorhanden ist. 
Wir betrachten aufser den drei Geraden (10) und (11) noch 
die Gerade: 
(a -(- /<a )x —|— (b —f- ,ab) y -f- (c -f- ,uc') — 0. 
Dann weisen wir zunächst nach, dafs der Quotient fi: X sich 
bei beliebiger projektiver Transformation nicht ändert. Zu dem 
Ende bezeichnen wir die vier Geraden kurz durch L = 0, M = 0, 
L + 4M = 0, L-}- I «M = 0. Durch eine Transformation mögen 
die beiden ersten Geraden in pL’ = 0, und qM' = 0 übergehen. 
Dann wird die dritte Gleichung sein: L' -f- — M == 0, und die vierte