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Zweiter Abschnitt. § 6. 
nur nicht auf einer durch drei Eckpunkte gelegten Ebene, einen 
Punkt E, den Einheitspunkt. Man betrachte nun vier durch die 
Kante A3A4 gehende Ebenen, welche bezüglich durch A 2 , A l} E 
und durch den zu bestimmenden Punkt P gelegt seien, und setze 
das Doppelverhältnis dieser vier Ebenen, welches durch (A 3 A 4 ; 
A^tEP) bezeichnet werden soll, gleich x. Ebenso lege ich durch 
die Kante A 4 A 2 vier Ebenen, deren erste den Punkt A 3 enthält, 
während je eine der andern wieder durch A x , E, P hindurch 
geht; ihr Doppelverhältnis (A 4 A 2 ; A 3 A X EP) setze ich gleich y. 
Endlich sollen durch die Kante A 2 A 3 vier Ebenen gehen, von 
denen jede einen der Punkte A 4 , A 1? E, P enthält; ihr Doppel 
verhältnis (A 2 A 3 ; A 4 AiEP) soll mit z bezeichnet werden. 
Man ersetze den Punkt A x durch einen Punkt Ah, welcher 
auf der Kante AW 2 liegt und für den das Doppelverhältnis der 
vier durch die Kante A 3 A 4 und je einen der Punkte A 2 , A x , E, 
Ah gelegten Ebenen gleich a ist. Dann bleiben y und z unge- 
ändert, aber x geht in 
oder bei passender Veränderung 
des Einheitspunktes in x — a über. Ersetzt man jetzt den Punkt 
Ai' durch einen Punkt A 2 der Geraden A r 'A 3 , so wird man 
nur y — b statt y nehmen müssen. Wenn man aber Ah' durch 
einen Punkt A t 0 der Geraden A 4 A 4 ersetzt, so geht nur z in 
z — c über. Indem wir diese drei Operationen zusammenfassen, 
erhalten wir den Satz: 
Ersetzen wir den bevorzugten Punkt A t des Koordinaten- 
Tetraeders durch irgend einen Punkt A t 0 des Raumes, während 
wir die andern Eckpunkte beibehalten, so erhält man die neuen 
Koordinaten x', y', z durch die Gleichungen: 
x' = «(x —a), y' — b (y — b), z =y(z—c). 
Die Koeffizienten «, ß, y kann man durch Verlegung des 
Einheitspunktes noch beliebig verändern. 
Um die Beziehungen zu erkennen, in denen die durch Be 
vorzugung von Ai erhaltenen Werte x, y, z zu denjenigen Koor 
dinaten stehen, welche durch Bevorzugung eines andern Eckpunktes 
gewonnen werden, ziehen wir die Gerade AtE und bezeichnen 
ihren Schnittpunkt mit der Ebene A 2 A 3 A 4 mit E^ Die Gerade 
A^ werde von der Ebene A 2 A 4 P in *, von der Ebene A 2 A 3 P 
in / getroffen, während die in der Ebene A 2 A 4 P gelegenen