Die projektive Geometrie. 
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Geraden A 2 * und A 4 P sich in schneiden mögen. Zudem möge 
jedem Punkte auf der Geraden A1E1 nach der in § 3 mitgeteilten 
Methode eine Zahl zugeordnet und die Differenz der zu zwei 
Punkten gehörigen Zahlen einfach durch Nebeneinanderstellung 
der Punkte bezeichnet werden. Dann ist: 
y = (A 4 A,; A s A, EP) = (E, A. Ex) = ^ ^. 
z = (A 2 A 3 ; A 4 A, EP) = (E, A, Ez) = M : , 
als0 z=S : ä = ^ A --)- 
Projizieren wir die vier Punkte Ei, A t , /, * durch vier 
Ebenen, welche durch A 2 A 3 gehen, auf die Gerade A 4 P, deren 
Schnittpunkt mit der Ebene Ai A 2 A 3 durch P 4 bezeichnet werden 
möge, so folgt: 
\ = (AjPiP/i). 
Die vier Punkte, deren Doppelverhältnis hier angegeben wird, 
sollen von Ai A 2 aus durch Ebenen projiziert werden. Dann geht 
die Ebene AiA 2 P 4 auch durch A 3 , die Ebene AiA.¿fi, weil ¡.i auf 
der Geraden A 2 x liegt, durch x und weil K x x in der Geraden 
A X E liegt, auch durch E, Demnach ist: 
^ — (Ai A 2 ; A4A3PE) = (Ai A 2 ; A 3 A 4 EP). 
Diese Beziehung ermöglicht es, diejenigen Koordinatenwerte,, 
welche man unter Beibehaltung des Tetraeders AiA 2 A 3 A 4 durch 
Bevorzugung eines andern Eckpunktes erhält, durch die obigen 
Werte x, y, z auszudrücken. Bevorzugt man z. B. den Punkt A 4 
und setzt: 
(A 2 A 3 ; A x A 4 EP) == x 3 , (A 3 Ai ; A 2 A 4 EP) = y 3 , 
(A x A 2 ; A 3 A 4 EP) = z 3 , so ersieht man, dafs ist: 
Nach diesen Vorbereitungen kann man die Entwicklungen, 
des vorigen Paragraphen sehr leicht auf den Raum übertragen.