Die projektive Geometrie. 
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so müfste er durch null hindurchgehen, was unmöglich ist; also 
bleibt er stets positiv. 
Bei der Herleitung der Gleichung (14) sind die Eigenschaften 
der Funktionen Sinus und Cosinus als bekannt vorausgesetzt; 
man kann jedoch auch diese Funktionen vermittelst der Trans 
formations-Koeffizienten definieren und ihre Eigenschaften durch 
Zusammensetzung mehrerer Transformationen ermitteln. 
Drehung einer Ebene um einen Punkt. 
Indem wir jetzt dazu übergehen, die Änderungen zu ent 
wickeln, welche die Koordinaten der Punkte einer Ebene erleiden, 
wenn die Ebene um einen ihrer Punkte gedreht wird, benutzen 
wir einige einfache geometrische Sätze, bei deren Beweis keinerlei 
Voraussetzung über die Unendlichkeit der Geraden u. s. w. er 
forderlich ist. Es sind dies folgende Sätze: 
1. Bei der Drehung der Ebene um einen ihrer Punkte be 
schreibt jeder andere Punkt eine geschlossene Linie, den Kreis. 
2. Die von der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks auf 
die Grundlinie gefällte Senkrechte geht durch die Mitte derselben. 
3. Jeder Punkt auf der Geraden, welche auf einer gegebenen 
Strecke in ihrer Mitte senkrecht steht, ist die Spitze eines gleich 
schenkligen Dreiecks, welches die Strecke zur Grundlinie hat. 
4. Jede Tangente eines Kreises steht auf dem Radius senk 
recht, der zum Berührungspunkte führt. 
Die Sätze 2, und 3. werden in ihrer Anwendung auf den 
Kreis benutzt. 
Der Untersuchung legen wir die in § 5 aufgestellten Koor 
dinaten zu Grunde und nehmen den ruhenden Punkt zum Anfangs 
punkt. Dann möge eine zweite Lage der Ebene durch die 
Gleichungen bestimmt sein: 
«X -j- b'y , a"x -4- ß"y 
«+W+r’ y " 
(1) x' 
ft x -f - ßy 
Wir betrachten zunächst die Veränderung, welche der durch 
den Ruhepunkt gehende Strahlbüschel erleidet. Hierfür gilt die 
Gleichung: 
«x + ßy 
(2) - = „ 
J y ax+ßy