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Zweiter Abschnitt. § 8. 
Indem wir u als lineare (ganze oder gebrochene) Funktion 
von x : y in passender Weise bestimmen, kann die Gleichung (2) 
durch eine der folgenden ersetzt werden: 
, , , u cos vt — sin vt 
u = e* 1 . u oder u — u -4- vt oder u = —7—— - • 
u sm vt + cos vt 
Nun kann man die Drehung so weit fortsetzen, bis ein Strahl 
(und damit jeder Strahl) wieder in seine Anfangslage gelangt. 
Demnach mufs für einen reellen Wert von t das x:y und damit 
u auch wieder seinen frühem Wert annehmen. Das ist in den 
beiden ersten Fällen nicht möglich, wohl aber im dritten, wo für 
vt = tv allgemein u' = u wird. Setzen wir für u den Wert, 
welcher aus § 7 folgt, so ergiebt sich die Transformation: 
(3) x ' + *y' _ (x + *y)cosy -¿y.sin (p 
■ ' /y' (x -F *y) sin (f) -J- /y COS (f 
Jetzt gehen wir auf die Transformation (1) zurück und fragen 
uns, welche lineare Funktion Ax -f- By -j- C durch dieselbe bis 
auf einen Faktor in sich übergeht. Da keine reelle Gerade, die 
durch den ruhenden Punkt geht, bei der Bewegung in sich ver 
bleibt, so dürfen wir annehmen, dafs C von null verschieden ist. 
Dann mufs sein: 
(Act -f- Bei" -f- Ca) x-j- (Ad -j- Bi '-f-Bi) y + Cy 
ax + /iy + 7 
io (Ax -F By ~F C) 
ax ~F ßy + / 
Daraus folgt: (o = y, und dann liefert die Vergleichung der 
Koeffizienten von x und y in den Zählern zwei Gleichungen, 
welche gestatten, die Verhältnisse von A, B, C eindeutig zu be 
stimmen. (Wären nämlich diese beiden Gleichungen identisch, 
so würde auch eine durch den Nullpunkt gehende Gerade in 
Ruhe bleiben, was ausgeschlossen ist.) 
Demnach können wir jetzt der Transformation folgende 
Form geben; 
Ax' + By' + C 
x' + xy' 
Ax' + By' + C 
ty 
(x ~F xy) cos (f> — Zy sin ip 
= 6 Ax + By + C 5 
(x -F xy) sin (p ~F Zy COS (f 
Ax' ~F By' ~F C s Ax -F By -F C 
Indem wir diese Transformation mehrmals wiederholen, 
müssen wir q durch o n und c/ durch rup ersetzen. Dann kann