Die projektive Geometrie.
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die Form bei jeder derartigen Transformation ungeändert. Da
zudem jede Bewegung einer Ebene in sich aus Drehungen zu
sammengesetzt werden kann, so wird durch jede Transformation,
welche einer starren Bewegung entspricht, die genannte Form
nur mit einem Faktor multipliziert.
Dieser wichtige Satz kann in mancher anderen Weise her
geleitet werden; wir wollen einen zweiten Weg wenigstens an
deuten. Die Gleichung: Ag -f- Bi, -)- C = 0 stelle eine gerade
Linie dar. Unter den Wertsystemen, welche dieser Gleichung
genügen, giebt es zwei (g', r/) und (g", //'), die bei jeder, einer
Verschiebung der Geraden in sich entsprechenden Transformation
ungeändert bleiben. Gelangt bei einer beliebigen Bewegung der
Ebene die obige Gerade auf eine andere, so mögen durch die
entsprechende Transformation die Wertsysteme (g', r/) und (g", r/')
in (gi', r/i ) und (gi", rji ) übergehen. Dann genügen diese
letzteren auch der Gleichung der zweiten Geraden und bleiben
ungeändert bei einer Transformation für diejenige Bewegung, bei
welcher die zweite Gerade in sich verschoben wird. Zugleich
genügen alle derartigen Wertsysteme der Gleichung: g 2 -|- rf 2
-|-k 2 = 0. Demnach bleibt diese Gleichung ungeändert bei jeder
Transformation, welche einer Bewegung der Ebene in sich ent
spricht. Wie diese Sätze für eine elliptische Raumform aus den
Resultaten des vorigen § herzuleiten sind, soll uns nicht weiter
beschäftigen.
Da durch die Form der Gleichung (15) § 8 alle in Li, L 2 ,
L 3 vorkommenden Konstanten angegeben sind, können die
Gleichungen (4) § 8 benutzt werden, um die Koeffizienten einer
jeder Transformation zu bestimmen, bei der ein beliebiger Punkt
der Ebene in Ruhe gehalten wird. Eidessen bedarf es zu ihrer
vollständigen Angabe noch der Auflösung linearer Gleichungen.
Die Unveränderlichkeit der Form £ 2 + rj 2 -(- k 2 gestattet uns aber,
die Fransformations-Koeffizienten niederzuschreiben, ohne jene
Gleichungen aufzulösen. Zu dem Ende ersetzen wir die Variabein
g, rj durch das Verhältnis von drei Gröfsen t, u, v, indem sein
soll: g = -, rj — Dann kann man aber zwischen t, u, v noch
eine Beziehung festsetzen, und zwar ist es am natürlichsten, die
Form k 2 t 2 -j- u 2 ~F v 2 , welche bei den angegebenen Transforma