Full text: Einführung in die Grundlagen der Geometrie (1. Band)

Die projektive Geometrie. 
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die Form bei jeder derartigen Transformation ungeändert. Da 
zudem jede Bewegung einer Ebene in sich aus Drehungen zu 
sammengesetzt werden kann, so wird durch jede Transformation, 
welche einer starren Bewegung entspricht, die genannte Form 
nur mit einem Faktor multipliziert. 
Dieser wichtige Satz kann in mancher anderen Weise her 
geleitet werden; wir wollen einen zweiten Weg wenigstens an 
deuten. Die Gleichung: Ag -f- Bi, -)- C = 0 stelle eine gerade 
Linie dar. Unter den Wertsystemen, welche dieser Gleichung 
genügen, giebt es zwei (g', r/) und (g", //'), die bei jeder, einer 
Verschiebung der Geraden in sich entsprechenden Transformation 
ungeändert bleiben. Gelangt bei einer beliebigen Bewegung der 
Ebene die obige Gerade auf eine andere, so mögen durch die 
entsprechende Transformation die Wertsysteme (g', r/) und (g", r/') 
in (gi', r/i ) und (gi", rji ) übergehen. Dann genügen diese 
letzteren auch der Gleichung der zweiten Geraden und bleiben 
ungeändert bei einer Transformation für diejenige Bewegung, bei 
welcher die zweite Gerade in sich verschoben wird. Zugleich 
genügen alle derartigen Wertsysteme der Gleichung: g 2 -|- rf 2 
-|-k 2 = 0. Demnach bleibt diese Gleichung ungeändert bei jeder 
Transformation, welche einer Bewegung der Ebene in sich ent 
spricht. Wie diese Sätze für eine elliptische Raumform aus den 
Resultaten des vorigen § herzuleiten sind, soll uns nicht weiter 
beschäftigen. 
Da durch die Form der Gleichung (15) § 8 alle in Li, L 2 , 
L 3 vorkommenden Konstanten angegeben sind, können die 
Gleichungen (4) § 8 benutzt werden, um die Koeffizienten einer 
jeder Transformation zu bestimmen, bei der ein beliebiger Punkt 
der Ebene in Ruhe gehalten wird. Eidessen bedarf es zu ihrer 
vollständigen Angabe noch der Auflösung linearer Gleichungen. 
Die Unveränderlichkeit der Form £ 2 + rj 2 -(- k 2 gestattet uns aber, 
die Fransformations-Koeffizienten niederzuschreiben, ohne jene 
Gleichungen aufzulösen. Zu dem Ende ersetzen wir die Variabein 
g, rj durch das Verhältnis von drei Gröfsen t, u, v, indem sein 
soll: g = -, rj — Dann kann man aber zwischen t, u, v noch 
eine Beziehung festsetzen, und zwar ist es am natürlichsten, die 
Form k 2 t 2 -j- u 2 ~F v 2 , welche bei den angegebenen Transforma
	        
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