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Zweiter Abschnitt. § 10. 
umzutauschen, im übrigen bleibt das Resultat ungeändert. Da 
sich demnach die den Punkt bestimmende Zahl bei jeder Trans 
formation, durch welche eine Verschiebung der Geraden in sich 
dargestellt wird, einem von zwei bestimmten Zahlwerten unbe 
grenzt nähert, denkt man auch diesen beiden Zahlen im uneigent 
lichen Sinne Punkte zugeordnet und nennt sie die unendlich 
fernen Punkte der Geraden. Macht man jetzt die ersten Ent 
wicklungen von § 8 und führt die Koordinaten (g, r/) ein, so 
stellt sich in ihnen die Gleichung eines jeden um den Nullpunkt 
beschriebenen Kreises durch die Gleichung: g 2 q 2 — a 2 dar. 
Folglich liegen auch die unendlich fernen Punkte für eine jede 
durch den Anfangspunkt gehende Gerade auf einem Kegelschnitt, 
dessen Gleichung ist: g 2 -f-rf = l 2 . Diese Gleichung stellt also 
die sämtlichen unendlich fernen Punkte der Ebene dar; folglich 
mufs sie bei jeder Transformation, welche einer Bewegung der 
Ebene in sich entspricht, ungeändert bleiben. Man hat also auiser 
dem § 7 nur die ersten Entwicklungen von § 8 nötig und kann 
die langwierigen Rechnungen des letzteren ganz entbehren. 
Leider kann aber ein solches Verfahren nicht als streng 
anerkannt werden. Die »unendlich fernen« Punkte sind eben 
nur für eine einzelne Gerade und für eine Verschiebung dieser 
Geraden in sich definiert. Ein Wertsystem (g = m, rj — n) stellt 
einen unendlich fernen Punkt der Geraden A| -J- B/y -(- C — 0 dar, 
wenn 1. die Gleichung Am -f- Bn -f- C = 0 erfüllt ist, und 2. die 
jenige Transformation, für welche die Gerade in sich verschoben 
wird, das Wertsystem (m, n) nicht ändert. Flieraus kann man 
aber keineswegs den Schlufs ziehen, dafs, wofern auch die Gleichung 
einer-zweiten Geraden A'g -f- Bh; -f- C' = 0 für das Wertsystem 
(m, n) befriedigt wird, auch diejenige Transformation, für weiche 
die zweite Gerade in sich verschoben wird, das genannte Wert 
system ungeändert läfst. Das erfordert vielmehr unbedingt einen 
Beweis. Ob er nicht so langwierige Entwicklungen nötig macht, 
als wir in § 8 angestellt haben, mag dahin gestellt bleiben; jeden 
falls mufs er gewisse geometrische Sätze oder das vorhin erwähnte 
System von Transformationen (die dreigliedrige Transformations- 
Gruppe) benutzen. Zudem ist meines Erachtens ein Beweis nur 
dann vollständig befriedigend, wenn er nicht über ein einmal fest 
gewähltes, allseitig begrenztes Gebiet hinausgeht.