Die projektive Geometrie. 
151 
Ein vierter Weg setzt von der Metrik nichts voraus, sondern 
verbleibt mit voller Konsequenz innerhalb der Projektivität. 25 ) 
Die Entwicklungen des § 5 gestatten uns, ebene algebraische 
Kurven von jeder Ordnungszahl durch die dort aufgestellten Koor 
dinaten x und y zu definieren. Dabei sind sog. imaginäre Kurven 
keineswegs ausgeschlossen. Wenn z. B. zwischen x und y eine 
Gleichung zweiten Grades bestellt und diese für kein reelles Werte 
paar befriedigt wird, so wird durch die Gleichung ein Polarsystem 
bestimmt, welches imstande ist, die Kurve zu ersetzen. Statt 
also diejenigen Voraussetzungen zu machen, welche die Grund 
lage der Metrik bilden, kann man die Forderung stellen, dafs nur 
solche Transformationen angewandt werden sollen, bei denen 
eine gewisse Gleichung ungeändert bleibt. Eine einzelne Trans 
formation und deren Fortsetzung läfst selbstverständlich eine Schar 
von Gleichungen ungeändert, nämlich die aller Kurven, in denen 
sich die Punkte bewegen. Im allgemeinen wird aber eine solche 
Gleichung nicht auch noch durch andere Transformationen un 
geändert bleiben. Es kann hier nicht unsere Aufgabe sein, alle 
Gleichungen aufzusuchen, welche bei allen Transformationen einer 
mehrgliedrigen Gruppe sich nicht ändern; wir erinnern nur daran, 
dafs sämtliche Gleichungen ersten und zweiten Grades die an 
gegebene Eigenschaft haben. Indem wir homogene Koordinaten 
x^ x 2 , x 3 benutzen, legen wir die Form zweiten Grades 
(1) & xx = 2a ix xix x 
zu Grunde und denken die Transformations-Koeffizienten so be 
stimmt, dafs diese Form ungeändert bleibt. 
Wenn vier Punkte in gerader Linie liegen und durch eine 
Transformation auf vier Punkte einer andern geraden Linie gebracht 
werden, so mufs das Doppelverhältnis für die beiden Quadrupel 
dasselbe sein. Das gilt aber nicht blofs für eigentliche Punkte, 
sondern auch für Wertsysteme, welche den betreffenden Gleichungen 
genügen. So seien zwei Punkte (x l5 x 2 , x 3 ) und (y t , y 2 , y 8 ) 
gegeben. Wir suchen die Schnittpunkte ihrer Verbindungsgeraden 
mit dem Kegelschnitt .Q = 0, oder mit andern Worten: wir 
bestimmen diejenigen beiden Wertsysteme, welche 1. der Gleichung 
■ß = 0, und 2. der Gleichung der durch die beiden Punkte ge 
legten geraden Linie genügen. Diese vier Punkte bestimmen 
ein Doppelverhältnis, und dies bleibt ungeändert, wofern man nur