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Zweiter Abschnitt. § 10. 
solche Transformationen zuläfst, bei denen die Form S2 in sich 
übergeht. Denn wenn durch eine solche Transformation die 
beiden ersten Wertsysteme, welche zu den beiden Punkten ge 
hören, in zwei andere übergehen, so wird die Verbindungsgerade 
der ersten in die der neuen Punkte verwandelt werden. Die 
beiden letzten Wertsysteme gehen also in zwei andere über, 
welche 1. der Gleichung der Verbindungsgeraden der neuen 
Punkte, und 2. der Gleichung .0 = 0 genügen. Um demnach 
zu erkennen, ob die Koordinaten zweier Punkte durch eine Trans 
formation der bezeichneten Art in die zweier anderer Punkte 
übergeführt werden können, bestimme man das Doppelverhältnis 
der ersten Punkte zu den beiden Punkten, in denen ihre Ver 
bindungsgerade den Kegelschnitt S2 = 0 schneidet, und suche das 
entsprechende Doppelverhältnis für die beiden andern Punkte; 
sind diese Doppelverhältnisse gleich, so ist die Überführung durch 
eine solche Transformation ausführbar. Demnach stellt dies 
Doppelverhältnis eine feste Beziehung zwischen den beiden Punkten 
dar; es entspricht somit der Entfernung oder ist, genauer aus 
gedrückt, eine Funktion derselben. 
Um das Doppelverhältnis analytisch darzustellen, stelle ich 
alle Punkte der durch die Punkte (x) und (y) gehenden Geraden 
in der Form (x -f- 2y) dar. Soll ein solcher Punkt der Gleichung 
SI (x 4~ 2y) = 0 genügen, so mufs die Gleichung erfüllt sein: 
2a** (Xi -f - lyt) (x* -f- 2y*) = 0 oder: 
2ai*x t x* -j- 222a tx Xty* -j- ^^ixyijx = 0. 
Diese möge kürzer in der Form geschrieben werden : 
' (2) i2 xx ~F 22i2 xy -f- 2 2 -fiyy — 0, 
wo sich die Bedeutung von ß yy und von ii xy — ii yx aus der 
vorangehenden Form ergiebt. Da die Wurzeln der Gleichung 
(2) sind: 
O 4- V O Q O p 
/Q\ 0 ^-xy Jl ' --xy --xy - ä xx JÄ yy 
(o) Z /J 'j 
J -yy 
und da das Doppelverhältnis der vier Punkte (x), (y), (x /jy), 
(x -f- 2 2 y) gleich /, : 2 2 ist, hat das gesuchte Doppelverhältnis den 
Wert: 
i4 l D — " x >' “P Üiixyvixy -^xx d-yy 
XV ß X y - Vß x yii xy — ß xx ß“ ‘ 
Um die Beziehung zu finden, in welcher dies Doppelver