Die projektive Geometrie. 
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hältnis zu der Entfernung der beiden Punkte steht, beachten wir 
folgendes. Drei Punkte a, b, c mögen in gerader Linie liegen 
und zwar b auf der Strecke ac; werden dann die Entfernungen 
je zweier dieser Punkte durch (ab), (bc) und (ac) bezeichnet, so 
ist (ab) -f- (bc) = (ac). Setzen wir aber (ac) = — (ca), so gilt die 
Beziehung: 
(ab) + (bc) + (ca) = 0. 
In dieser Relation kommen aber die Punkte a, b, c ganz 
gleichmäfsig vor; sie wird also stets gelten, wenn die drei Punkte 
in gerader Linie liegen. 
Um demnach die Entfernung E xv der Punkte (x) und (y) 
als Funktion ip (D xy ) dieses Doppelverhältnisses darzustellen, 
wählen wir einen dritten Punkt (z = x -f- ( «y) auf der Verbindungs 
geraden der beiden ersten. Dann mufs sein: 
Ey Z -(- E zx -f- E xy = 0, oder 
(Dyz) ~F ip (D zx ) -j- ip (D xy ) == 0. 
Bei Entwicklung dieser Gleichung beachte man, dafs 
ß X z = --XX + ftäxy U. S. W. 
ist. Dann kommen in den nach (4) zu bildenden Ausdrücken 
für D yz , D zy , D xy noch Wurzelgröfsen vor, deren Zeichen so 
zu wählen sind, dafs D yz . D zy = D zx . D xz = D xy . D yx = 1 ist. 
Nachdem eine solche Wahl getroffen ist, bietet die Bestimmung 
der Funktionalgleichung ip keine Schwierigkeit. Indessen eröffnet 
sich ein anderer Weg, der keinerlei Rechnung erfordert. 
Man denke wieder nach § 3 jedem Punkte einer Geraden 
eine Zahl zugeordnet. Wählt man drei eigentliche Punkte auf 
der Geraden, so mögen ihnen die Zahlen (», o, r entsprechen^ 
während den beiden uneigentlichen Punkten die Zahlen a und ß 
zugeordnet sein sollen. Die Doppelverhältnisse je zweier unter 
den drei ersten Punkten zu den beiden letzten werden dann durch 
die drei Ausdrücke: 
o — (( o — ß 0 — a 0 — ß r — ce r — ß 
u — o ß — 0 ’ « — r ' ß — r’ « — q ' ß — r 
dargestellt. Setzt man = o und führt o , 
ein, so sind die drei Doppelverhältnisse: 
q' o x 
o” %' ’ £>' 
% entsprechend