Die projektive Geometrie. 
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Um die Übereinstimmung der durch die vorstehende Be 
trachtung gewonnenen Raumformen mit den früher entwickelten 
noch deutlicher hervortreten zu lassen, denken wir uns die Koor 
dinaten xi, x 2 , x 3 so gewählt, dafs die Form ¿1 sich als Summe 
von Quadraten darstellt. Wir wollen zunächst 
(11) ¿¿xx k 2 Xi 2 -p X 2 2 ~F x 3 2 
voraussetzen. Dann gelten für die Transformations-Koeffizienten 
die in § 9 Gleichung (4) aufgestellten Bedingungen. Zudem 
können wir, da es nur auf die Verhältnisse Xj : x 2 ; x 3 ankommt, 
die Voraussetzung machen: 
o — Q — h 2 
Dann geht die Gleichung (6) über in: 
k 2 cos £ = k 2 x,y! -f x 2 y 2 -f x 3 y 3 . 
Jetzt nimmt H die Gestalt an; 
( l2f) H uu = -)- u 2 2 + u 3 2 , 
und wir können allgemein H = L voraussetzen. Dadurch wird: 
u i*5 i i 
COS * |_“2 F U 2 I.» 2 -F u 3 Vo. 
Die Formeln werden also mit den im vorigen Paragraphen 
für eine elliptische Raumform aufgestellten identisch. 
Der Fall, dafs der Kegelschnitt reell ist und nur Punkte 
in seinem Innern betrachtet werden, wird aus dem vorigen er 
halten, indem wir k 2 mit —l 2 vertauschen; wir erhalten also die 
Formeln einer hyperbolischen Raumform. 
§ 11. 
Übertragung auf den Raum, 
Da die in den §§ 8 und 9 entwickelten Gesetze für jede 
Ebene gelten, übertragen sich die gewonnenen Resultate unmittel 
bar auf den Raum. Für einen endlichen Teil desselben, in welchem 
die am Schlufs des ersten Paragraphen aufgestellten Forderungen 
erfüllt sind, giebt es nur drei Möglichkeiten, und solange wir nur 
einen solchen Bereich betrachten, haben wir nur einen hyper 
bolischen, parabolischen und elliptischen Raum zu unterscheiden. 
Jeder ist charakterisiert durch die Form der Transformation, welche