Die projektive Geometrie. 
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imaginär voraussetzen. Dann ist es gestattet, die Gröfsen x x , x 2 , 
x 3 , x 4 und u 4 , u 2 , u 3 , u 4 so zu wählen, dafs ist: 
& = k 2 Xt 2 -j- x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 = k 2 , und 
H = -(- u 2 2 -f- u 3 2 -j- u 4 2 = 1. 
In diesem Falle gilt für den Abstand e zweier Punkte (x) 
und (y) die Relation: 
k 
und für den Winkel e zweier Ebenen (u) und (t>); 
Zweitens dürfen wir die Fläche reell ungeradlinig annehmen. 
Die entsprechenden Formeln werden erhalten, indem man k 2 
durch — l 2 ersetzt. Jede der gemachten Voraussetzungen liefert 
ein System, welches unserer Erfahrung genügt. 
Was die übrigen Gebilde zweiter Ordnung und zweiter Klasse 
betrifft, so übersieht man sofort, dafs sie im allgemeinen nicht 
zu Grunde gelegt werden dürfen, wenn man die Forderung stellt, 
dafs eine Gerade mit jeder andern zur Deckung gebracht werden 
kann. Nur bei einem imaginären Kegelschnitt kann dieser For 
derung noch genügt werden. Man könnte daher versucht sein, 
die parabolische Geometrie auf der Annahme aufzubauen, dafs 
die zu benutzenden Transformationen einen solchen Kegelschnitt 
nicht verändern. Soll aber für x 4 = 0 zugleich Xi 2 -f- x 2 2 -j- x 3 2 
ungeändert bleiben, so müssen bei Benutzung der Transformationen; 
Xi = SxpixXx für i, x = 1 ... 4 
die Beziehungen bestehen: 
?41 = P42 — P43 = 9, 
Pi 1 2 T - Pi 2 2 ~h pi 3 2 — P21 2 P2 2 2 P2 3 2 — psi 2 ps 2 2 Ps s 2 
PllP21 + P12P22 -f" Pl3P23 = • • • =0. 
Da es nur auf die Verhältnisse ankommt, darf man p 44 = l 
annehmen, und dann hangen die Koeffizienten von sieben will 
kürlichen Gröfsen ab. Um das Wesen der hierdurch bestimmten 
Mannigfaltigkeit zu erkennen, bilden wir sie auf den parabolischen 
(euklidischen) Raum ab, indem wir 
x ± 
x 4 
X.