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Zweiter Abschnitt. § 11. 
setzen und x, y, z als rechtwinklige Cartesische Koordinaten 
betrachten. Sind dann (x, y, z) und (x', y', z') die Koordinaten 
zweier Punkte und gehen diese durch die angegebene Trans 
formation in (X, Y, Z), (X', Y', 21) über, so wird sein: 
(X—X')*-HY—Y') 2 + (Z-Z'){(x -x') 2 +(y-y') 2 +( z-z') 2 }. 
Somit ändern sich alle Strecken nach dem konstanten Ver- 
hältnis a; jedes räumliche Gebilde geht also in ein ähnliches über. 
Die aufgestellte Transformations-Gruppe stellt also eine Umge 
staltung des Raumes dar, bei welcher nicht die Längen, sondern 
nur die sämtlichen Winkel ungeändert bleiben. 
Will man also auf diesem Wege zur parabolischen Geometrie 
gelangen, so mufs man noch eine weitere Beschränkung ein 
führen. So kann man die Forderung stellen: Es soll nicht möglich 
sein, bei der Ruhe eines Punktes eine durch denselben gehende 
Gerade in sich zu verschieben. Statt dessen kann man auch 
verlangen, dafs bei der Ruhe eines Punktes ein zweiter Punkt 
nicht mehr jede beliebige Lage erhalten kann, sondern gezwungen 
ist, auf einer Fläche zu verbleiben. Endlich dürfen wir zu der 
Forderung, dafs ein imaginärer Kegelschnitt unverändert bleibt, 
noch die weitere hinzufügen, dafs die Gesamtheit der Bewegungen 
nur eine sechsfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit bildet. Da der 
Beweis dieser Behauptungen zwar leicht ist, aber immerhin die 
ersten Sätze aus der Theorie der Transformations-Gruppen benutzt, 
möge er nur im Anhänge mitgeteilt werden, 26 ) 
Indessen kann man noch auf einem andern Wege zur para 
bolischen Geometrie gelangen. Die für einen elliptischen Raum 
angegebenen Formeln gelten für jeden Wert von k 2 . Man kann 
daher nach dem Grenzwerte fragen, dem sich die Formeln bei 
unbegrenzt wachsendem Werte von k 2 nähern. Den Ausdruck 
für den Winkel zweier Ebenen erhält man dann unmittelbar. 
Um den Abstand zweier Punkte darstellen zu können, ersetzen 
wir den Cosinus durch den Sinus. Dann folgt: 
c e 
k 2 sin 2 7- = k 2 — k 2 cos 2 !- = 
k k 
(k 2 t x 2 + U 1 2 -f Dj 2 -f W x 2 ){k 2 t 2 2 -pU2 2 -(- Dg 2_ (" Wg 2 ) (k , t 1 t2-pUiU2 -j“ Dl V 2 + W1W2V 
k 2 
= (t! U 2 — t 2 U! ) 2 -1- (ü V 2 — tg Dl ) 2 + (tj W 2 — tgWi) 2 + 2 ' ' - •