Die projektive Geometrie. 
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Bei wachsendem k 2 kommen t x und t 2 immer näher an eins, 
v, w immer näher an gewisse Längen x, y, z und k sin y 
k. 
immer näher an e. Somit gilt die Gleichung: 
e 2 = (x — x') 2 -f (y — y') 2 + (z — z') 2 . 
Derselbe Grenzwert wird aber erhalten, wenn man in einer 
hyperbolischen Raumform l 2 unbegrenzt wachsen läfst. Demnach 
stellt die parabolische Raumform die Grenze zwischen der ellip 
tischen und hyperbolischen dar. 
Statt die Gesamtheit der projektiven Umgestaltungen durch 
die Forderung zu beschränken, dafs eine Fläche zweiter Ordnung 
in sich verbleiben soll, kann man durch manche andere Beschrän 
kung der allgemeinen projektiven Gruppe zur Metrik gelangen. 
Unter anderem kann man von gewissen Eigenschaften der starren 
Bewegung ausgehen. Zwar wird es möglich sein, bei passender 
Wahl der zu Grunde gelegten Eigenschaften die lästigen Rech 
nungen des § 8 durch einfache und natürliche Entwicklungen zu 
ersetzen; aber man verläfst bei jedem derartigen Verfahren den 
rein projektiven Standpunkt. Man fügt nur einen neuen Beweis 
dafür bei, dafs die Voraussetzungen Euklids auch bei ihrer Be 
schränkung auf ein endliches Gebiet zur Begründung der Geo 
metrie genügen und die drei bekannten Systeme liefern. Wollen 
wir aber eine neue Herleitung suchen, die ganz auf dem Boden 
der Projektivität bleibt, so können wir folgende Erwägung an 
stellen. 
Die projektiven Umgestaltungen des Raumes gestatten in 
ihrer Gesamtheit nicht nur, jeden Punkt in jeden andern Punkt, 
sondern auch jede Gerade in jede andere Gerade und jede Ebene 
in jede andere Ebene zu transformieren. Beschränkt man sich 
auf einen beliebig kleinen Bereich oder, wie wir der Kürze wegen 
sagen wollen, auf die Umgebung eines gewissen Punktes, so kann 
man nach der kleinsten projektiven Gruppe fragen, welche im 
stande ist, alle hierin gelegenen Punkte, Geraden und Ebenen 
in einander überzuführen. Hierbei tritt die merkwürdige Verein 
fachung ein, dafs man sich auf Ebenen oder auf Geraden be 
schränken darf, dafs man also etwa nur die Forderung zu stellen 
braucht: Von der allgemeinen projektiven Gruppe des Raumes 
soll die kleinste Untergruppe gesucht werden, die imstande ist, 
Killing, Grundlagen der Geometrie. I. 
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