Die projektive Geometrie. 
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mittelst rein analytischer Folgerungen hergeleitet werden kann. 
Jede dieser Möglichkeiten wurde charakterisiert durch eine gewisse 
Gleichung, deren Wesen schon erkannt werden kann, wenn man 
nur zwei Lagen einer Strecke auf einer einzigen Geraden mit 
einander vergleicht. Weder der Ausgangspunkt noch der weitere 
Aufbau gestattete, eine dieser Möglichkeiten zu bevorzugen; ihre 
theoretische Gleichberechtigung kann also nicht dem geringsten 
Zweifel unterliegen. Dabei erkennen wir, dafs alle Voraussetzungen, 
welche in den Lehrbüchern gemacht werden und nicht implicite 
über einen gewissen endlichen Bereich hinausgehen, speziell also 
auch die Grundlagen, von denen Euklid ausgeht, wofern man 
von der Unendlichkeit der Geraden und damit vom Parallel-Axiom 
absieht, für jede dieser Möglichkeiten ihre Geltung bewahren. 
Auch bei der ganzen Herleitung waren wir nicht gezwungen, 
über das einmal gewählte Gebiet hinauszugehen. 
Die §§ 24 und 25 des ersten Abschnitts haben zwar auch 
zu demselben Resultate geführt. Aber dort mufsten wir zunächst 
die Eigenschaften eines unendlich kleinen Gebietes zu Grunde 
legen und für ein solches die Übereinstimmung mit der eukli 
dischen Geometrie beweisen. Ein derartiges Verfahren erfordert 
grofse Vorsicht bei der Herleitung der Sätze und setzt genauere 
Untersuchungen über die Stetigkeit voraus. Um so erwünschter 
mufs es uns sein, hier einen Weg gefunden zu haben, welcher 
von derartigen Erwägungen unabhängig ist. 
Die hier benutzten Kleinschen Bezeichnungen für die ein 
zelnen Raumformen bieten manche Vorzüge vor den von Riemann 
eingeführten. Riemann unterscheidet Räume positiver, verschwin 
dender und negativer Krümmung. Hierdurch sind manche ver 
leitet worden, das Wort Krümmung im geometrischen Sinne zu 
nehmen, was nicht gestattet ist, während nur gewisse, für den 
Raum charakteristische Formeln nach ihrer analytischen Seite 
unterschieden werden sollen. Der Kleinschen Bezeichnung aber 
liegt ein Prinzip zu Grunde, welches zu keinem Mifsverständnis 
führen kann. Die Transformation, welche bei Verschiebung einer 
Geraden in sich angewandt werden mufs, wird ihrer analytischen 
Natur nach entweder elliptisch oder parabolisch oder hyperbolisch 
sein. Jede diesejr Möglichkeiten ist für die Raumform selbst 
charakteristisch und deshalb darf der für die Transformation gel