Die projektive Geometrie. 
165 
Hierüber möchte ich einige Bemerkungen beifügen, selbst 
auf die Gefahr hin, dafs sie an dieser Stelle nicht allgemein ver 
ständlich sind. Die Aufgabe der projektiven Geometrie geht 
weiter, als sie meistens gefafst wird. Es genügt nicht, die ein 
zelnen Gebilde zu definieren und ihre Eigenschaften zu entwickeln. 
Wir müssen aufserdem die Gesamtheit der Transformationen unter 
suchen, dabei aber auch die einzelnen Transformationen klassifi 
zieren und ihre Besonderheiten kennen lernen. Endlich müssen 
wir wieder die sämtlichen in sich abgeschlossenen Systeme von 
Transformationen aufstellen und deren charakteristische Eigen 
schaften entwickeln. Hierdurch tritt die projektive Geometrie in 
enge Beziehung zur Theorie der Lieschen Transformations-Gruppen. 
Für den Raum hängt die Gruppe sämtlicher projektiver Umge 
staltungen von 15 Parametern ab. Zur Aufgabe dieser Theorie 
gehört es, die sämtlichen Untergruppen in Klassen einzuteilen. 
Da interessieren zunächst die eingliedrigen Untergruppen, bei 
denen jedesmal die Punkte in gewissen Linien und diese Linien 
sämtlich in sich verbleiben. Aber auch die Untergruppen mit 
einer gröfsern Zahl von Parametern müssen gefunden werden, 
und zu ihnen gehören diejenigen, durch welche die Bewegung 
in einer euklidischen oder nicht - euklidischen Raumform be 
schrieben wird. 
Auch die Frage nach den verschiedenen Möglichkeiten, welche 
unserer Erfahrung genügen, kommt darauf hinaus, die verschie 
denen Untergruppen der allgemeinen projektiven Gruppe aufzu 
stellen und jede zu prüfen, ob sie mit der Erfahrung vereinbar 
ist. Für einen gewissen allseitig begrenzten Bereich ist diese 
Frage bereits hier vollständig gelöst. Wie wir aber für den 
ganzen Raum zum Abschlufs gelangen, müssen wir späteren Dar 
legungen Vorbehalten.