172 Dritter Abschnitt. § 3. 
Innern und auf der Grenze eines Quadrats erreicht und durch 
jeden einzelnen Punkt entweder einmal oder zweimal oder vier 
mal hindurchgeht. 27 ) 
§ 3. 
Die Baumgebilde durch Bewegung erhalten. 
Dafs ein bewegter Punkt eine Linie, eine bewegte Linie 
eine Fläche und eine bewegte Fläche einen Raumteil beschreibt, 
findet in der Geometrie oftmalige Anwendung. Wenn manche 
aber glauben, hierauf die Definitionen der Linie, der Fläche und 
des Körpers gründen zu können, so möchten wir zunächst an 
das letzte Ergebnis des vorigen Paragraphen erinnern, wo wir 
gesehen haben, dafs ein bewegter Punkt eine ganze Fläche be 
schreiben kann. Um nicht gar zu breit zu werden, wollen wir 
in den nächsten Darlegungen von dieser Möglichkeit ganz absehem 
Gegen die angegebene Definition lassen sich auch noch viele 
andere Bedenken geltend machen. Vor allem dürfte es am natür 
lichsten sein, vom Körper auszugehen; denn die Natur enthält 
nur Körper, und der Begriff des Punktes wird erst durch Abstrak 
tion gewonnen. 
Dazu kommt, dafs nicht alle Linien durch Bewegung von 
Punkten und auch wohl nicht alle Flächen durch Bewegung von 
Linien entstehen. Soll nämlich eine Linie durch die Bewegung 
eines Punktes entstehen, so mufs der bewegte Punkt an jeder 
Stelle eine gewisse Geschwindigkeit haben; höchstens mufs die 
Anzahl der Stellen, an denen von Geschwindigkeit nicht gesprochen 
werden kann, eine endliche sein. Wenn also die Kurve durch 
die Gleichung y = f(x) dargestellt wird, so mufs die Funktion 
1 (x) im allgemeinen einen bestimmten Differentialquotienten haben. 
Nun hat bereits Riemann stetige Funktionen einer Veränderlichen 
gebildet, für welche in jedem endlichen Intervalle unendlich viele 
Stellen ohne Differentialquotienten Vorkommen. Herr Weierstrafs 
hat sogar gezeigt, dafs es auch stetige endliche Funktionen giebt, 
welche an keiner Stelle einen Differentialquotienten besitzen. Als 
Beispiel einer solchen Funktion stellt er den Wert der Reihe auf: 
oo 
^ b n cos (a n x;r) 
n = 0