Der mehrdimensionale Raum. 
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mitgerechnet werden. Werden der Punkt, die Gerade, die Ebene, 
der Körperraum beziehlich als Gebiete erster, zweiter, dritter und 
vierter Stufe aufgefafst, so liegt darin der allgemeine Satz ange 
deutet, dafs ein Gebiet von al4 r und eins von b^ Stufe, wenn 
sie in einem Gebiet von c^’ Stufe, aber auch in keinem Gebiet 
von niedrigerer Stufe vereinigt sind, ein Gebiet (a-f-b— c)f e i 
Stufe gemeinschaftlich haben; aber die Raumlehre kann diesen 
Satz nur für c kleiner oder gleich 4 zur Anschauung bringen. 
2. Der Flächenraum eines Dreiecks ist die Hälfte von dem eines 
Parallelogramms, dessen Seiten mit zwei Seiten des Dreiecks 
gleich lang und parallel sind, der Körperraum des Tetraeders 
von dem des Parallelepipedums, dessen Kanten mit drei in einem 
Punkte zusammentreffenden Kanten des Tetraeders gleich lang 
und parallel sind. Darin scheint der Satz angedeutet: Der Raum, 
welcher zwischen n Punkten liegt, die in einem Gebiete nlü 
Stufe (und in keinem von niederer Stufe) vereinigt sind, ist 
v—Tr—t, t vT von dem Raume eines Gebildes, dessen Be- 
1.2.3 .. (n — 1) 
grenzungslinien den von einem der n Punkte zu den übrigen 
gezogenen gleich und parallel sind. 
Um sich von diesen Schranken zu befreien, ersetzt Grafs- 
mann den Punkt durch irgend ein Element und die Bewegung 
durch stetige Änderung des Zustandes. Dann entspricht der Linie 
die Gesamtheit der Elemente, in die ein seinen Zustand änderndes 
Element übergeht. Er erläutert dies in folgenden Worten: 
Die Linie kann als Gesamtheit der Punkte betrachtet werden, 
in die ein seinen Ort stetig ändernder Punkt übergeht. Sub 
stituieren wir hier dem Punkt irgend ein Ding, welches einer 
stetigen Änderung irgend eines Zustandes, den es hat, fähig ist, 
und abstrahieren nun von allem anderweitigen Inhalte des Dinges 
und aller Besonderheit dieses seines Zustandes und nennen das 
von allem anderweitigen Inhalte abstrahierte Ding das Element, 
so gelangen wir zu dem aufgestellten Begriffe. 
Nun setzt er es als einen Grundbegriff voraus, was es heifse, 
dafs ein Element von irgend zwei verschiedenen Zuständen aus 
dieselbe Änderung erleide. Es hängt das damit zusammen, dafs 
er den Begriff der Richtung als einen absolut festen Begriff ansieht, 
in dem Sinne, welchen wir im dritten Paragraphen des ersten 
Killing, Grundlagen der Geometrie. I. 
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