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Dritter Abschnitt. § 6.
formation eines solchen Integrals, d. h. die neue Form, welche
erhalten wird, wenn an die Stelle von x und y andere Variabele
eingeführt werden.
Eine gleiche Vorstellung ist nicht mehr möglich für das
dreifache Integral
SSS f ( x >y> z)dxdydz.
Da die Grenzen des Integrals durch eine analytische Beziehung
zwischen x, y, z bestimmt sind, so deute man die Variabein als
rechtwinklige Koordinaten des Raumes und lasse die Grenze
durch eine Fläche bestimmt sein, von der wir hier annehmen
wollen, dafs sie geschlossen sei. Das Innere des von dieser
Fläche begrenzten Körpers teile man in lauter Würfel, deren
Grenzflächen den Koordinatenebenen parallel sind, und bestimme
den Wert, welchen die Funktion f (x, y, z) im Schwerpunkt eines
jeden solchen Würfels hat. Mit diesem Werte multipliziere man
den Rauminhalt des Würfels, addiere über alle Würfel und be
stimme den Grenzwert, weichen diese Summe erhält, wenn man
die Kante aller dieser Würfel immer kleiner werden läfst; den
so erhaltenen Grenzwert bezeichnet man als den Wert des In
tegrals. Auch jetzt folgen die wichtigsten Sätze über das drei
fache Integral mit grofser Feichtigkeit aus der geometrischen
Darstellung; bringt man umgekehrt die angewandten geometrischen
Vorstellungen in das analytische Gewand, so erhält man einen
rein analytischen Beweis.
Die Analysis ist aber bei den dreifachen Integralen nicht
stehen geblieben; sie darf sich auch nicht mit dieser Zahl drei
begnügen, sondern mufs die entsprechenden Gesetze für jede
beliebige Zahl aufstellen. Nun wird es aber schon schwer, genau
anzugeben, was man unter dem n-fachen Integrale
SS • • • S f ( x i • • • x n) dxi dx 2 dx„
zu verstehen hat. Ebenso mufs man wünschen, für die Beweise
diejenige Erleichterung erhalten zu können, welche die Geometrie
bei den zwei- und dreifachen Integralen bietet.
Um an einem weiteren Beispiele die Beziehungen der Geo
metrie zur Analysis zu erkennen, wähle man das System der
Differentialgleichungen:
1)
dxx
dt
X„
dxo
dt
y dxg y
A 2> -jW A 3j
