Der mehrdimensionale Raum. 
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wo Xi, X 2 , X 3 eindeutige analytische Funktionen von XiX 2 x 3 
sind. Betrachten wir hier x x , x 2 , x 3 als die rechtwinkligen Koor 
dinaten eines Punktes P des Raumes und t als die Zeit, so defi 
nieren diese Gleichungen die Geschwindigkeit eines Punktes als 
Funktionen seiner Koordinaten. Die allgemeine Lösung des 
Problems erscheint in der Form: 
(2) Xi — (fi (t, Ci, C 2 , C 3 ), x 2 = <p 2 (t, Ci, C 2 , C 3 ), 
72 = 9?3 (t, Q,C 2 , C 3 ), 
wo Ci, C 2 , C 3 willkürliche Konstanten sind. Eine besondere 
Lösung 
Xi = (fl (t), X 2 = (f 2 (t), x 3 = (f 3 (t) 
liefert bei stetiger Veränderung der Zeit t eine gewisse Linie, 
welche der Punkt P beschreibt; dieselbe heifst eine Bahnkurve 
oder Trajektorie. Somit entspricht jeder besondern Lösung eine 
Bahnkurve und umgekehrt. 
Da die Funktionen Xj, X 2 , X 3 eindeutig sind, so geht durch 
jeden Punkt des Raumes eine und nur eine einzige Bahnkurve. 
Dieser Satz erleidet nur eine Ausnahme, wenn eine der drei 
Funktionen unendlich wird oder wenn alle drei zugleich den 
Wert null annehmen; solche Punkte heifsen singuläre Punkte. 
Wir betrachten im Raume irgend eine Kurve, welche nicht 
selbst eine Trajektorie ist. Dann geht durch jeden Punkt dieser 
Kurve eine Trajektorie und ihre Gesamtheit bestimmt eine Fläche, 
die Trajektorienfläche. Eine solche Fläche kann, wofern sie nicht 
durch einen singulären Punkt hindurchgeht, durch keine Trajek 
torie geschnitten werden. Sobald eine geschlossene Trajektorien 
fläche existiert, teilt sie den Raum in zwei Teile, und keine Tra 
jektorie kann aus dem einen in den andern Teil übertreten. Wenn 
also die Anfangslage des Punktes P innerhalb dieser Fläche sich 
befindet, so wird der Punkt auch während der ganzen Bewegung 
im Innern verbleiben; läfst man auch die Zeit t von — QD bis 
+ 00 variieren, so bleiben die drei Gröfsen x x , x 2 , x 3 unterhalb 
gewisser Grenzen. Diesen Fall bezeichnet man als Stabilität. 
Somit ist die wichtige analytische Frage nach der Stabilität auf 
die geometrische Untersuchung zurückgeführt, ob es geschlossene 
Flächen der bezeichneten Art gebe. 31 ) 
Wir haben hier rein analytische Probleme, deren Aufstellung 
und deren Lösung dadurch besondere Klarheit erhält, dafs man