Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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ob nicht vielleicht das elfte Axiom als Folge aus den übrigen 
Voraussetzungen Euklids bewiesen werden könne, oder ob es 
nicht durch einen andern Grundsatz ersetzt werden kann, der 
diesen Namen auch wirklich verdient. 
Es mufs unsere erste Aufgabe sein, die bisher zu diesem 
Zwecke gemachten Versuche zu prüfen. 
§ 2- 
Andere Formen des Axioms. 
In Euklids System kommt alles darauf an zu zeigen, dafs 
durch jeden Punkt nur eine einzige Parallele zu einer gegebenen 
Geraden gezogen werden kann. Man hat daher mehrfach diesen 
Satz selbst geradezu als Axiom hingestellt. Aber alsdann hat die 
Theorie wiederum keine genügende Grundlage, und die Mängel 
des Verfahrens sind ungeändert geblieben. 
Zuweilen hat man auch folgenden Satz für selbstverständlich 
ausgegeben: Zwei Gerade, welche derselben dritten parallel sind, 
sind auch einander parallel. Dieser Satz kann seine Beliebtheit 
wohl nur der äufsern Ähnlichkeit mit dem Satze verdanken: Zwei 
Gröfsen, welche derselben dritten gleich sind, sind einander gleich. 
Aber es mufs schon auffallen, dafs der entsprechende Satz in der 
Stereometrie allgemein bewiesen wird, was zu der Eigenschaft 
eines Grundsatzes wenig palst. Selbst jene Ähnlichkeit fällt aber 
vollständig weg, sobald man das Wort »parallel« durch den darin 
liegenden Begriff ersetzt. Dann erhält der Satz etwa folgende 
Fassung: 
Liegen drei Gerade in derselben Ebene und werden zwei 
unter ihnen von der dritten nicht geschnitten, so schneiden sie 
auch einander nicht. 
Bei diesem Ausspruch wird man unbedingt einen Beweis 
verlangen, und man mufs gestehen, dafs man, solange dieser 
Beweis nicht geliefert wird, nicht weiter gekommen ist, als mit 
der Voraussetzung Euklids. 
Nicht so deutlich, wie bei den beiden angegebenen Versuchen, 
tritt die Mangelhaftigkeit zu Tage, wenn man folgendes Axiom 
aufstellt : 
Durch jeden Punkt innerhalb eines ebenen Winkelfeldes kann 
man eine gerade Linie ziehen, welche beide Schenkel schneidet.