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Dritter Abschnitt. § 7. 
Zwei Ebenen 
(2) -2a*x* = 0, 2h*x* = 0 
sind nur dann als verschieden zu betrachten, wenn sich kein 
Faktor M bestimmen läfst, für welchen jedes hx = Ma* ist, oder 
wenn nicht alle Determinanten a^b*— a*bi für «, x — 1... n -f- 1 
verschwinden. Dann kann man n—2 Verhältnisse der x beliebig 
wählen und daraus die übrigen eindeutig so bestimmen, dafs 
beiden Gleichungen genügt wird. Wenn z. B. a n b n+1 — a n +ib„ 
nicht verschwindet, so erhält man x n durch x l5 x 2 .. . x n _i aus 
gedrückt, indem man die erste Gleichung mit b n+1 , die zweite 
mit a n+1 multipliziert und die erhaltenen Produkte von einander 
subtrahiert; eine ähnliche Operation ermöglicht es, x n+1 durch 
x 1? x 2 ...x n _ 1 darzustellen. Somit kann man die Verhältnisse 
x x : x 2 :... ; x n _x beliebig wählen und erhält dann die weiteren 
Verhältnisse. Wir sagen, die Gesamtheit der Verhältnisse, welche 
den Gleichungen (2) genügen, stelle eine (n—2) - dimensionale 
Ebene dar. Genau wie vorher ergiebt sich der Satz: 
Irgend zwei Ebenen von n — 2 Dimensionen lassen sich 
in einander transformieren; jede solche Ebene für sich hat die 
Eigenschaften eines (n — 2) - fach ausgedehnten projektiven 
Raumes, 
Sind U x —0, U 2 = 0 die Gleichungen für zwei Ebenen von 
n —1 Dimensionen, so wird jede Ebene, welche durch das Schnitt 
gebilde geht, die Gleichung haben: ^Eh -|-x 2 U 2 =0'. Soll da 
gegen eine dritte Ebene EI 3 = 0 nicht durch das Schnittgebilde 
der beiden ersten gehen, so darf der Ausdruck x t Eh -j- x 2 U 2 -f-*3U 3 
nur dadurch zum identischen Verschwinden gebracht werden 
können, dafs x l5 x 2 , x 3 sämtlich gleich null gesetzt werden. Man 
bezeichnet dann wohl die Ebenen als von einander unabhängig. 
Die allen drei Ebenen gemeinsamen Punkte erfüllen eine (n—3)- 
dimensionale Ebene. 
Sind also v Ebenen 
(3) Ui = 0, U 2 = 0 ... Ui> = 0 
von einander unabhängig (d. h. kann die Form xxUx + * 2 U 2 -f- ... 
+ *vUv nur für *x = * 2 = . . . = xv = 0 zum identischen 
Verschwinden gebracht werden), so bestimmen die ihnen ge 
meinsamen Punkte eine (n — r)-dimensionale Ebene, und alle