Der mehrdimensionale Raum. 
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(n—1)-dimensionalen Ebenen, welche durch diese Schnittebene 
gehen, lassen sich in der Form darstellen; 
ki Ui -)- k 2 U 2 -j- ... -f- kvUv — 0. 
In dieser Weise führen n — 1 Ebenen zur Geraden, n zum 
Punkte. 
Alle diese Sätze ergeben sich unmittelbar aus der Theorie 
der linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Wir können 
aber die Geraden und die Ebenen noch in anderer Weise erhalten. 
Wir gehen von zwei Punkten x' und x" aus und betrachten alle 
Punkte : 
(4) Xi = pxi ' -f qxi ", x 2 = px 2 ' -f- qx 2 " ... x n+J = px' n+1 + qx" n+ ,, 
wo die p und q jeden beliebigen Wert annehmen sollen. Die 
Gleichung einer Ebene U : : 2a*x* = 0 möge sowohl für x' wie 
für x" erfüllt sein; es mögen also die Gleichungen bestehen: 
-2a*x'* = 0 un d -2a*x* = 0; dann folgt daraus: -2a* (px*'+ qx*") = 0, 
woraus man ersieht, dafs alle Punkte, deren Koordinaten den 
Gleichungen (4) genügen, der Ebene U = 0 angehören. Wählt 
man n —-1 von einander unabhängige Ebenen U x = 0 .. . U n _i = 0 
so, dafs sie durch die beiden Punkte x' und x" gehen, so gehen 
sie auch durch die Punkte (4); diese gehören also dem Schnitt 
der n — 1 Ebenen, also einer Geraden an. Dann folgt: 
Eine Gerade ist durch irgend zwei ihrer Punkte vollständig 
bestimmt; wenn sie mit einer beliebigen Ebene zwei Punkte 
gemeinschaftlich hat, so fällt sie ganz hinein. 
Wenn drei Punkte x', x", x'" nicht in gerader Linie liegen, 
so wird durch die Gesamtheit der Punkte; 
Xi — pxi -f- qxi -f- rxj x 2 = px 2 ' -f- fi x 2 ~h rx s x n _i = 
PX'iH-1 + qx'n+l + rx'" n +i 
für beliebige Werte von p, q, r eine zweidimensionale Ebene 
dargestellt. In gleicher Weise kann man mit irgend einer gröfsern 
Anzahl von Punkten fortfahren. Daraus ergiebt sich : 
Durch eine fi- dimensionale Ebene und einen Punkt aufser- 
halb derselben läfst sich eine einzige Ebene von ft -f- 1 Dimen 
sionen legen. Hat eine ft-dimensionale Ebene mit einer andern 
Ebene ft -f- 1 Punkte gemeinschaftlich, welche nicht einer Ebene 
von ft — 1 Dimensionen angehören, so fällt sie ganz hinein. 
Drei Ebenen U = 0, V — 0, U-f- kV = 0 bezeichnen wir 
als einem Büschel angehörig. Der Koeffizient k ändert sich bei