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Dritter Abschnitt. § 7. 
beliebigen Transformationen, drückt also keine invariante Beziehung 
zwischen den Ebenen aus. Nimmt man aber eine vierte Ebene 
U-|-1V = 0 des Büschels hinzu, so gehen die vier Gleichungen 
in die folgenden über: 
Also bleibt das Verhältnis k:l bei jeder Transformation (1) un- 
geändert; demnach bezeichnet man es als das Doppelverhältnis 
der vier Ebenen. 
Durchschneidet man die vier Ebenen des Büschels durch 
irgend eine Anzahl von Ebenen T x =0...Tr"=0, welche von 
jenen unabhängig sind, so wird jede (n — 1) - dimensionale Ebene, 
welche durch den Schnitt von U = 0, T x = 0 ... T v = 0 geht, 
durch die Gleichung dargestellt: 
Ui U -|- «i T. i •.. -j- Tv = 0, 
und ebenso geht durch den Schnitt von V = 0, Ti = 0 .. .Tv = 0 
die Ebene 
Vi =e V-j- /?jTi -|-ßvIlv = 0. 
Jede Ebene des durch U x und bestimmten Büschels hat 
die Gleichung U t -f-rVx =0. Soll diese durch den Schnitt von 
U -)- kV = 0, Ti — 0 ... Tv = 0 gehen, so mufs r = k sein. Soll 
ebenso die Ebene Ui + sV x =0 durch den Schnitt von U -f- IV =0, 
Ti = 0. .. Tv — 0 gehen, so mufs s = l sein. Demnach ist das 
Doppelverhältnis der vier Ebenen U l5 Vi, -f-rVx, Ui -}-sVi 
gleich dem der vier Ebenen U, V, U -f- kV, U -f- IV. Die vier 
Schnittebenen haben je n — v—1 Dimensionen und liegen in 
einer (n — r)-dimensionalen Ebene. Ersetzen wir also die Zahl 
n — v — 1 durch fi, so erhalten wir folgenden Satz: 
Wenn vier ft - dimensionale Ebenen (Punkte oder Gerade) 
einer ( t u -J- 1) - dimensionalen Ebene und in ihr einem Büschel 
angehören, so ist das Doppelverhältnis der vier (n — 1)-dimen 
sionalen Ebenen konstant, welche einem Büschel angehören und 
durch die vier gegebenen Ebenen gehen. 
Demnach wird dieses Doppelverhältnis auch als das der vier 
gegebenen Ebenen bezeichnet. 
Wenn speziell vier Punkte einer geraden Linie gegeben sind: 
x', x", x'-f-kx", x —|— Ix , so wird das Doppelverhältnis der vier 
Punkte durch k ; l bestimmt. 
1- V 
a 
U' = 0, V' = 0, 
U' + k^W 
a