Der mehrdimensionale Raum. 
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Es genügt also, das Doppelverhältnis von vier (n—^-dimen 
sionalen Ebenen zu studieren. 
Betrachten wir jetzt die Gleichungen der vier Ebenen in der 
Form : 
(5) U +2V = 0, U + /tV = 0, U-M'V = 0, U + /i'V = 0. 
Um das Doppelverhältnis der beiden letzten Ebenen zu den 
beiden ersten zu finden, setze man U -J- 2 V = W, U -J- ,aV = T. 
Indem man U und V durch W und T ausdrückt, erhält man 
die beiden letzten Gleichungen (5) bis auf einen konstanten 
Faktor in der Form : 
W + T = 0 und W + T = 0. 
fi— / fi— fl 
Demnach ist das Doppelverhältnis co der beiden letzten Ebenen 
zu den beiden ersten 
2 — X' X —fi 
co = — : — 
fi — / fi — fi 
Dieser Wert ändert sich nicht, wenn man X mit X' und 
zugleich fi mit fi vertauscht. Somit bleibt auch das Doppel 
verhältnis ungeändert, wenn man das erste Ebenenpaar mit dem 
zweiten vertauscht. Wenn man aber die dritte Ebene mit der 
vierten, also X' mit fi vertauscht, so geht co in — über. Als be 
sonders wichtiges Doppelverhältnis mufs also dasjenige bezeichnet 
werden, welches diese Vertauschung gestattet, für welches also 
(o — 1 oder co 2 = 1 ist. 
O) 
Für o) — 1 ergiebt sich: (2 — fi) (2' — fi) — 0, oder die Ebenen 
eines Paares fallen zusammen. Dagegen sind die vier Ebenen 
für co — — 1 von einander verschieden; wir sagen, die vierte 
Ebene läge zu den drei ersten harmonisch, wenn das Doppel 
verhältnis gleich — 1 ist. Bei dieser Bezeichnung führt die voran 
gehende Entwicklung zu dem Satze: 
Liegt von vier Ebenen eines Büschels die vierte harmonisch 
zur dritten in Bezug auf die beiden ersten, so liegt auch die 
dritte harmonisch zur vierten; ebenso liegt das erste Ebenenpaar 
harmonisch zum zweiten. 
Derselbe Satz gilt auch für vier Geraden eines Büschels und 
für vier Punkte einer geraden Linie.